La figura muestra varios términos de una sucesión formada por círculos y cuadrados. Cada círculo está inscrito en un cuadrado y cada cuadrado (excluyendo el mayor) está inscrito en un círculo. Denote con S n el área del n - ésimo cuadrado y C n el área del n - ésimo círculo. 1. Encuentre las relaciones entre S n y C n y entre C n y S n + 1 . 2. ¿Qué parte del máximo cuadrado está sombreada en la figura?
En resumen
1) La relación entre Sn / Cn = 4 / π y Cn / (Sn + 1) = π / 4. 2) La parte del máximo cuadrado que está sombreada es de π / 4. Explicación.
1) La relación entre Sn / Cn = 4 / π y Cn / (Sn + 1) = π / 4.
2) La parte del máximo cuadrado que está sombreada es de π / 4.
Explicación.
Para resolver este problema se tiene que as ecuaciones para el área del cuadrado y de la circunferencia, las cuales son las siguientes : Sn = L²Cn = π * D² / 4Los datos son los siguientes : L = D = xAhora respondiendo los incisos se tiene que : 1) Sn / Cn = (x²) / (π * x² / 4)Sn / Cn = 4 / πCn / (Sn + 1) = (π * x² / 4) / (x²) Cn / (Sn + 1) = π / 42) La parte sombreada del cuadrado total es de π / 4.
Explicación paso a paso : Definiremos un lado cualquiera como : "<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x" />"Inicialmente tendremos que sacar los lados para sacar el área del cuadrado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=L_%7B1%7D%20%3Dx%5C%5C" /> siendo el lado inicial, el lado del siguiente se calculara por Pitágoras, notamos que el lado del cuadrado inclinado corresponde al Pitágoras de sus mitades.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28L_%7B2%7D%29%5E2%20%3D%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%29%5E%7B2%7D%20%2A%20%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%29%5E%7B2%7D" />, por propiedad, si 2 lados son iguales, Pitágoras sera el lado multiplicado por <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B2%7D" /> (Triangle1.
Gif), y ya que son mitades sera divido por 2Por lo tanto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28L_%7B2%7D%29%3D%20x%20%2A%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28L_%7B2%7D%29%3D%20%28L_%7B1%7D%29%20%2A%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D" /> Cumpliéndose una progresión geométrica : Donde el n - ésimo termino está dado por : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_%7Bn%7D%3D%20a_%7B1%7D%20r%5E%7Bn-1%7D" />Calcular el área no será mas que elevar esta expresión al cuadrado : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28L_%7Bn%7D%29%5E2%20%3D%28%20x%20%2A%20%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%29%5E%7Bn-1%7D%29%5E2" /> ⇒ <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bn%7D%20%3D%28%20x%20%2A%20%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%29%5E%7Bn-1%7D%29%5E2" /> Se distribuye el ^ 2 : Siendo el área del cuadrado n - ésimo : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=S_%7Bn%7D%20%3Dx%5E2%2A%20%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%5E%7Bn-1%7D" /> - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Para el área del circulo se cumple la misma propiedad : Radio : [img = 10] , osea, el L1 multiplicado por [img = 11][img = 12] , osea el L2 multiplicado por [img = 13]Entonces se tiene otra progresión geométrica : [img = 14] ⇒ [img = 15]Área de un circulo : [img = 16]Calcular el área no será mas que elevar el radio al cuadrado y multiplicar por [img = 17] : Siendo el área del circulo n - ésimo : [img = 18][img = 19][img = 20]La primera expresión ya la calculamos : [img = 21][img = 22] / / 1.
- Su relación : 1.
A) Entre [img = 23] y [img = 24] : [img = 25] De la expresión anterior se tiene : [img = 26][img = 27]Por lo tanto su relación es de [img = 28] / / 1.
B) Entre [img = 29] y [img = 30] : [img = 31][img = 32][img = 33]Entonces : [img = 34] , se simplifica : [img = 35][img = 36]Por lo tanto, su relación es de [img = 37]2.
- Área sombreada : Siendo el área sombreada, la resta entre el área del cuadrado con la del circulo.
[img = 38]Ocupando alguna calculadora : [img = 39][img = 40]Por lo que se ve en la imagen, son 7 veces.
Entonces : se remplazaran y sumaran cada uno 7 veces.
[img = 41] = X.
Área del cuadrado : Lado² = 36 Lado = 6 El radio delcírculo inscrito es la mitad del lado del cuadrado : Radio = 6 / 2 = 3.
Respuesta : 21. 5 cm. CuadradosExplicación paso a paso : saco el area del circulo pi por radio al cuadrado 3. 14 x25 = 78. 5area del cuadrado lado al cuadrado 10 x 10 = 100diferencia 100 - 78. 5 = 21. 5.