LA DERIVADA DE X CON EXPONENTE [ X ALA X]?

Si y = x ^ x ^ x lo ideal seria usar la derivacion logaritmica, es decir sacar Ln a ambos lados de la igualdad, y por propiedad de logaritmos el x ^ x bajaria a multiplicar y quedaria asi :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Lny%3Dx%5ExLnx" />

Derivamos implicitamente :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By%5E%2C%7D%7By%7D%3Dx%5ExLnx%3D%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7By%5E%2C%7D%7By%7D%3Dx%5Ex%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7DLnx%2B%5Cfrac%7Bx%5Ex%7D%7Bx%7D" />

Hacemos un cambio de variable y decimos que w = x ^ x y derivamos usando nuevamente logaritmos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=w%3Dx%5Ex%5C%20%5C%20%5C%20Lnw%3DxLnx%5C%20%5C%20%5C%20%5Cfrac%7Bw%5E%2C%7D%7Bw%7D%3DLnx%2B1%5C%20%5C%20w%5E%2C%3Dw%28Lnx%2B1%29%20" />

sustituyo w,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=w%5E%2C%3Dx%5Ex%28Lnx%2B1%29" />

En la primera parte donde se dejo expresada la derivada (d / dx) sustituimos a w ^

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7By%5E%2C%7D%7By%7D%3D%28x%5Ex%28Lnx%2B1%29Lnx%2B%5Cfrac%7Bx%5Ex%7D%7Bx%7D%29%5C%20%5C%20%5C%20y%5E%2C%3Dx%5Ex%5Ex%28x%5Ex%28Lnx%2B1%29Lnx%2B%5Cfrac%7Bx%5Ex%7D%7Bx%7D%29" />

Y esa es la derivada.

Exito.