Por progresiones geométricas (PG)
Partimos del primer término que es el valor inicial del coche.
A₁ = 20.
000
La razón por la que hay que multiplicar ese número es 0, 8 por tratarsedel 80% de su valor inicial ya que es lo que se depreciará cada año.
El nº de términos de la PG serán los 5 años.
N = 5
Acudiendo a la fórmula del término general se obtiene el valor al cabo de 5 años.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da_1%2A%20r%5E%7Bn-1%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_5%3D20000%2A%200%2C8%5E%7B5-1%7D%20%20%3D20000%2A0%2C32768%3D6553%2C6" />
Ahora vuelvo a tener otra progresión geométrica igual que la anterior pero en este caso, el primer término es el que acabamos de calcular :
a₁ = 6553, 6
Si ahora el 100% de su valor es6553, 6 al revalorizarse anualmente un 25%, hay que multiplicar por 1, 25 que sale de 100 + 25 = 125% así que 1, 25 será la razón.
En este caso, el dato que hay que calcular es "n" es decir, el nº de años (o fracción) que pasarán hasta que vuelva a su valor inicial que recordemos que era 20000, por tanto podemos identificar <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D20000" />
Vuelvo a acudir a la fórmula :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=20000%3D6553%2C6%2A%201%2C25%5E%7Bn-1%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B20000%7D%7B6553%2C6%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%2C25%5E%7Bn%7D%20%7D%7B1%2C25%5E1%7D%20%20%20%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%201%2C25%5E%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%7B20000%2A1%2C25%7D%7B6553%2C6%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%201%2C25%5E%7Bn%7D%3D3%2C814697265625" />
Y ahora hay que usar logaritmos para hallar el valor de "n", cosa que yo hace mucho que olvidé y ya no he tenido ganas de volver a estudiar.
Haciéndolo manualmente, es decir, multiplicando 1, 25 por sí mismo, al elevarlo a la 6ª potencia nos sale exacto.
Es decir que la solución al ejercicio es 6 años.
Saludos.