Hola, saben como se realiza esta demostración?

El ejercicio es el siguiente

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28sec%28x%29%2Btan%28x%29%29%20%20%5E%7B2%7D%20%20%3D%20%5Cfrac%7B1%2Bsin%28x%29%7D%7B1-sin%28x%29%7D%20" />

Bueno primero vamos a desarrollar ese binomio al cuadrado.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sec%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%2B2sec%28x%29tan%28x%29%2B%20tan%5E%7B2%7D%20%28x%29" />

Salimos de la izquierda e intentaremos demostrar el derecho.

Vamos a usar las razones trigonométricas, el propósito es llevar cosas o términos que ya conozcamos mejor.

Como senos y coseno

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sec%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20tan%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D%20%5Cfrac%7Bsin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20" />

éstas razones funcionan sin los cuadrados por supuesto.

Entonces tenemos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sec%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%2B2sec%28x%29tan%28x%29%2B%20tan%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%2B2%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%28x%29%7D%20%29%28%20%5Cfrac%7Bsin%28x%29%7D%7Bcos%28x%29%7D%20%29%2B%20%5Cfrac%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29%7D%7B%20cos%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%0A%0A%0A%0A" />

Ahora éstas son fracciones homogéneas.

Entonces solo sumamos los denominadores.

Pero además vamos a usar la siguiente identidad

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=sin%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%2Bcos%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%3D1" />

Entonces tenemos

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%2B2sin%28x%29%2B%20sin%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%28sin%5E%7B2%7D%28x%29%2Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%29%2B2sin%28x%29%2Bsin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%20%20%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%20%28x%29%7D%20%3D...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20...%3D%20%5Cfrac%7B2sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%2B2sin%28x%29%2Bcos%20%5E%7B2%7D%20%20%7D%7Bcos%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29%28sin%28x%29%2B1%29%2B%281-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%29%7D%7B1-sin%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%3D...%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20...%3D%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29%28sin%28x%29%2B1%29%2B%281%2Bsin%28x%29%29%281-sin%28x%29%29%7D%7B1-sin%20%5E%7B2%7D%28x%29%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%281%2Bsin%28x%29%29%282sin%28x%29%2B%281-sin%28x%29%29%29%7D%7B%281-sin%28x%29%29%281%2Bsin%28x%29%29%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cfrac%7B2sin%28x%29%2B1-sin%28x%29%7D%7B1-sin%28x%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%2Bsin%28x%29%7D%7B1-sin%28x%29%7D%20" />

Mira que solo hemos jugado con la anterior ecuación.

Y por ahí uno que otro factor común.

Para simplificar el denominador.

Y eso sería espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas.

Nota : hay otras identidades que nos podría facilitar muchísimo más el camino.

Pero saberlo hacer usando pocas herramientas.

Es muchísimo mejor.

Porque no lo haces tan mecánicamente.

Si no analizando que es lo que necesitas.