Hola, Hola : )Requiero de ayuda en resolver integrales indefinidas, paso a paso , por favor que me digan como resolverlas de la forma mas sencilla, mañana tengo examen u - uGracias?

Por sustitucion

integrar (x + 1) / (x - 1) ^ 2

por partes

integrar (x arc cos x dx)

integrar ln (x ^ 2 + 1) .

X + 1

∫ - - - - - - - - - - dx

.

(x - 1)²

Se hace la sustitución

u = x - 1

de donde

du = dx

y además

u + 1 = x

por lo tanto

u + 1 + 1 = x + 1

u + 2 = x + 1

y entonces la integral se convierte en

.

U + 2 .

. . .

. u .

. . .

. 2 .

. . .

. du .

. . .

Du

∫ - - - - - - - - dx = ∫ - - - - du + ∫ - - - - du = ∫ - - - - + 2 ∫ - - - -

.

. . u² .

. . .

. . u² .

. . .

. u² .

. . .

. u .

. . .

. u²

Esas 2 últimas integrales son inmediatas :

Ln| u | - (2 / u) + C

Y volviendo a expresar todo en términos de "x",

Ln| x - 1 | - [ 2 / (x - 1) ] + C = = = = = = = = = = = = = = =

∫ x arccos(x) dx

Hacemos

u = arccos(x)

de donde

du = - dx / √(1 - x²)

y a la vez hacemos

dv = x dx

de donde

v = (x² / 2)

Entonces

∫ x arccos(x) dx = uv - ∫v du

∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) - ∫ [ ( - x² dx) / 2√(1 - x²) ]

∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ½ ∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx .

. . ( * )

Para resolver la última integral se puede realizar la sustitución

x = sen(t)

de donde

dx = cos(t)dt

y además

t = arcsen(x)

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ { sen²(t)cos(t) / √[ 1 - sen²(t) ] } dt

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ [ sen²(t)cos(t) / √cos²(t) ] dt

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ [ sen²(t)cos(t) / cos(t) ] dt

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ sen²(t)dt

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ∫ ½[ 1 - cos(2t) ]dt

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ ∫ [ 1 - cos(2t) ]dt

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ [ ∫ dt - ∫ cos(2t)dt ]

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ [ t - ½ sen(2t) ]

sustituyendo "t" por su valor equivalente de "x" resulta :

∫ [ x² / √(1 - x²) ]dx = ½ { arcsen(x) - ½ sen[ 2arcsen(x) ] }

Para terminar regresando a ( * ) :

∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ½ ( ½ { arcsen(x) - ½ sen[ 2arcsen(x) ] } ) + C

∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ½ { ½ arcsen(x) - ¼ sen[ 2arcsen(x) ] } + C

∫ x arccos(x) dx = (x² / 2)arccos(x) + ¼ arcsen(x) - (1 / 8) sen[ 2arcsen(x) ] + C = = = = = = = = =

∫ Ln(x² + 1)dx

Se hace

u = Ln(x² + 1)

de donde

du = (2x dx) / (x² + 1)

Se hace a la vez

dv = dx

de donde

v = x

∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - ∫ [ (x2x dx) / (x² + 1) ]

∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - ∫ [ (2x² dx) / (x² + 1) ]

∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - 2 ∫ [ (x² dx) / (x² + 1) ] .

. . .

( * )

Resolvemos la última integral.

Se realiza la división de los polinomios :

∫ [ x² / (x² + 1) ]dx = ∫ { 1 - [ 1 / (x² + 1) ] }dx

∫ [ x² / (x² + 1) ]dx = ∫ dx - ∫ [ 1 / (x² + 1) ]dx

∫ [ x² / (x² + 1) ]dx = x - arctan(x)

Reemplazamos este valor en ( * ) :

∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - 2[ x - arctan(x) ] + C

∫ Ln(x² + 1)dx = xLn(x² + 1) - 2x + 2arctan(x) ] + C.