Hola amigos?

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%20_%7B-%5Cinfty%20%5C%3A%7D%5E%7B%5Cinfty%20%5C%3A%7D%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Cleft%281%2Bx%5E2%5Cright%29%5E2%7Ddx" />

Calculamos la integral indefinida :

Tomamos la fracción parcial de :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Cleft%281%2Bx%5E2%5Cright%29%5E2%7D" />

Se crea un modelo para esa fracción :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba_1x%2Ba_0%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%2B%5Cfrac%7Ba_3x%2Ba_2%7D%7B%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D" />

Entonces :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Ba_1x%2Ba_0%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%2B%5Cfrac%7Ba_3x%2Ba_2%7D%7B%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D" />

Se multiplica la ecuación por el denominador :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx%5E2%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D%7B%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%28a_0%2Ba_1x%5Cright%29%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28a_2%2Ba_3x%5Cright%29%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D%7B%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%5E2%7D" />

Se simplifica :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3D%5Cleft%28a_0%2Ba_1x%5Cright%29%5Cleft%28x%5E2%2B1%5Cright%29%2Ba_3x%2Ba_2" />

Expandimos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%3Da_1x%5E3%2Ba_0x%5E2%2Ba_1x%2Ba_3x%2Ba_0%2Ba_2" />

Agrupamos los elementos de acuerdo a las potecias de X :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=1x%5E2%3Da_1x%5E3%2Ba_0x%5E2%2Bx%5Cleft%28a_1%2Ba_3%5Cright%29%2B%5Cleft%28a_0%2Ba_2%5Cright%29" />

Igualamos los coeficientes para crear un tabla :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da_0%2Ba_2%3D0%5C%5Ca_1%2Ba_3%3D0%5C%5Ca_0%3D1%5C%5Ca_1%3D0%5Cend%7Bbmatrix%7D" />

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_2%3D-1%2C%5C%3Aa_3%3D0%2C%5C%3Aa_0%3D1%2C%5C%3Aa_1%3D0" />

Sutituimos en la fracción parcial :

[img = 10]

Simplificar y nos queda :

[img = 11]

Aplicando la regla de la suma :

[img = 12]

Aplicando la regla de la integración a :

[img = 13]

[img = 14]

Tomamos :

[img = 15]

Aplicamos la integración por sustitución :

[img = 16]

Nos queda :

[img = 17]

Usando la siguiente identidad : [img = 18]

[img = 19]

Nos queda :

[img = 20]

Usando la siguiente identidad : [img = 21]

[img = 22]

Sacamos la constante :

[img = 23]

Aplicando de nuevo la sustitución :

[img = 24]

Sacando constante y aplicando la regla de la derivación nos da :

[img = 25]

Por lo que :

[img = 26]

Sacamos constnte y aplicamos la regla de la suma :

[img = 27]

Realizando el mismo procedimiento nos queda que :

[img = 28]

Se sutituye :

[img = 29]

Se simplifica :

[img = 30]

Simplificamos y agregamos una constante :

[img = 31]

Calculamos los límites :

[img = 32]

y

[img = 33]

Por lo que :

[img = 34]

Simplificamos y :

[img = 35]

¡Que integral más difícil Johnny!