Halle los valores de k > 0 y θ ∈ ( - π / 2, π / 2) para expresar 3 √2 / 2 sen x + 3 √2 / 2 cos x En la forma 3 √2 / 2 sen x + 3 √2 / 2 cos x = k cos(x + θ) k = ? Θ = - 5π / 1.
Aplica la fórmula del coseno de la suma al miembro de la derecha :
cos( x + Ф) = cos(x) cos(Ф) - sen(x)sen(Ф) = > k cos (x + Ф) = k cos(x) cos(Ф) - k sen(x) sen(Ф)
Igualando ahora con el miembro de la izquierda :
(3 √2 / 2) sen x + (3 √2 / 2) cos x = k cos(x) cos(Ф) - k sen(x) sen(Ф)
Ahora puedes igualar los coefecientes de sen(x) y de cos(x) de ambos miembros>
(3√2 / 2) sen x = - k sen(Ф)
(3√2 / 2) cos x = k cos(Ф)
Que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas : k y x
Al dividir la de arriba entre la de abajo
tan x = - tan (Ф)
Siendo Ф = - 5π / 12, tan (Ф) = tan ( - 5π / 12) = - 3, 732 = > tan x = - ( - 3, 732) = > x = arctan ( 3, 732) = 75° = 5π / 12
Con lo que ahora puedes hallar el valor de k a partir de alguna de las dos ecuaciones anteriores.
A partir de (3√2 / 2) cos x = k cos(Ф) = > k = (3√2 / 2) cos x / cos(Ф) = (3√2 / 2) cos (5π / 12) / cos( - 5π / 12) = 3√2 / 2
Respuesta : k = 3√2 / 2.