Hallarel área de un hexágono regular de raiz de 3dm de apotema?

La apotema de cualquier hexágono regular es lo mismo que la altura del triángulo equilátero que se forma entre dos de sus radios y el lado puesto que en este polígono, los segmentos trazados desde el centro a los vértices son iguales que los lados, de ahí que se formen triángulos equiláteros.

Basándonos en el triángulo equilátero, si conocemos la altura (apotema del hexágono), por Pitágoras podemos hallar el lado ya que dicha altura parte en dos triángulos rectángulos iguales al equilátero, ok?

Tendremos entonces que la apotema o altura será el cateto mayor, el lado del equilátero será la hipotenusa y la mitad del lado será el cateto menor.

Mira la imagen que te adjunto.

Aplicando el citado teorema y llamando "L" al lado, tendremos que :

Apotema² = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2%3D%20L%5E2-%20%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%5E2%20" />

Desarrollando esto.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=3%3D%20L%5E2-%20%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%203%3DL%5E2%2A%281-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%203%3DL%5E2-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20L%5E2%3D3%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B15%7D%7B4%7D%20%3D3%2C75%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20L%3D%20%5Csqrt%7B3%2C75%7D%3D%201%2C94" />

(aproximando por exceso en las centésimas)

Sabiendo el lado y la apotema, sólo queda aplicar la fórmula general para saber el área de cualquier polígono regular, siendo "P" el perímetro :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%20%5Cfrac%7BP%2AA%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%2C94%2A6%2A1%2C73%7D%7B2%7D%20%3D10%2C0686" />

El área tiene 10, 1 dm² (aproximando por exceso en las décimas)

Saludos.