Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por (X ^ 2 - 4) y se anule para (X = 3) y (X = 5)?
Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por (X ^ 2 - 4) y se anule para (X = 3) y (X = 5).
En resumen
Sea P(x) = ax ^ 4 + bx³ + cx² + dx + e el polinomio buscado. Hagamos la división que nos dicen : . Ax ^ 4 + bx³ . + . . Cx² . . + . . . dx . . + . . . . E | x² - 4 - ax ^ 4 . . . . . + . . 4ax² . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mejor respuesta
1
Sea
P(x) = ax ^ 4 + bx³ + cx² + dx + e
el polinomio buscado.
Hagamos la división que nos dicen :
.
Ax ^ 4 + bx³ .
+ . .
Cx² .
. + .
. . dx .
. + .
. . .
E | x² - 4 - ax ^ 4 .
. . .
. + .
. 4ax² .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. ax² + bx + (4a + c)
.
. . .
. . bx³ + (4a + c)x²
.
. . .
. - bx³ .
. . .
. . .
. + .
. . 4bx
.
. . .
. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
.
. . .
. . .
. . .
(4a + c)x² + (4b + d)x
.
. . .
. . .
. . .
- (4a + c)x² .
. . .
. . .
. + (16a + 4c)
.
. . .
. . .
. . .
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - …
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . (4b + d)x + (16a + 4c + e)
El residuo debe ser 0, por tanto
4b + d = 0 .
. . .
. . .
(i)
Y
16a + 4c + e = 0 .
. (ii)
Lo anterior significa que
(ax ^ 4 + bx³ + cx² + dx + e) / (x² - 4) = ax² + bx + (4a + c)
o lo que es lo mismo,
ax ^ 4 + bx³ + cx² + dx + e = [ ax² + bx + (4a + c) ](x² - 4) .
. . ( * )
Recordemos que
x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
Si el polinomio se anula para
x = 3
y para
x = 5
eso significa que ambos valores son raíces del polinomio, y además (como es divisible también por x² - 4) las otras raíces son
x = 2
y
x = - 2
por lo tanto podemos expresar P(x) como el producto de sus raíces :
P(x) = (x - 3)(x - 5)(x - 2)[ x - ( - 2) ]
P(x) = (x - 3)(x - 5)(x - 2)(x + 2)
P(x) = (x² - 8x + 15)(x² - 4)
y por lo tanto, viendo ( * ) y la anterior ecuación, tenemos la siguiente equivalencia :
x² - 8x + 15 = ax² + bx + (4a + c)
de donde al igualar los coeficientes de cada término tenemos :
a = 1
b = - 8
4a + c = 15 - - - > 4(1) + c = 15 - - - > 4 + c = 15 - - - > c = 15 - 4 - - - > c = 11
De (i) :
4( - 8) + d = 0 - 32 + d = 0
d = 32
De (ii) :
16(1) + 4(11) + e = 0
16 + 44 + e = 0
60 + e = 0
e = - 60
y por tanto el polinomio buscado es :
P(x) = x ^ 4 - 8x³ + 11x² + 32x - 60.
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