Hallar la inversa de f(x) = Raíz de 2 + 5x?

Haber para hallar la inversa de una funcion, la funcion debe ser biyectiva para lo cual primero hay que comprobar si la funcion es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Para comprobar si es inyectiva :

1) El dominio de la funcion debe ser igual

2) Debe cumplir la siguiente condicion :

Para todo x1, x2 E R ; f(x1) = f(x2) / x1 = x2

Para comprobar si es sobreyectiva :

1) El Recorrido debe ser igual

2) Debe cumplir la siguiente condicion :

Para todo Ysub(0) Existe la menos un X (sub) 0 / f(X0) = Yo

INYECTIVIDAD

f(x) = √(2 + 5x)

1) Para encontrar el recorrido despejo la y de la ecuacion formada.

F(x) = y

Entonces :

y = √(2 + 5x) "y" es real si y solo si 2 + 5x ≥ 0

5x ≥ - 2

x ≥ - 2 / 5

Sol : [ - 2 / 5 ; infinito + [

Domf = x E [ - 2 / 5 ; infinito + [

2) Compruebo que la condicion es verdadera :

f(x1) = f(x2)

√(2 + 5x2) = √(2 + 5x2)

(√(2 + 5x1))² = (√(2 + 5x))²

2 + 5x1 = 2 + 5x2

5x1 = 5x2

x1 = x2

La condicion es Verdadera por lo tanto f(x) = √(2 + 5x) es INYECTIVA.

SOBREYECTIVIDAD

f(x) = √(2 + 5x)

1) Para encontrar el recorrdio de la funcion despejo la "x".

Y = √(2 + 5x)

y² = (√(2 + 5x))²

y² = 2 + 5x

5x = y² - 2

x = y² - 2 "x" no tiene restricciones por lo que Recf = y E R 5

2) Compruebo la condicion

Y0 = √(2 + 5X0)

X0 = Y0² - 2 5

f(xo) = f((Y0² - 2) / 5) = √(2 + 5(Y0² - 2) / 5)) = √(2 + Y0² - 2) = √Y0² = Y0

La condicion es Verdera por lo tanto f(x) = √(2 + 5x) ES SOBREYECTIVA.

Entonces concluyo que al ser inyectiva y sobreyectiva a la vez f(x) = √(2 + 5x) es Biyectiva y por lo tanto tiene funcion Inversa.

f(x) : [ - 2 / 5 ; infinito + [ ⇒ R x ⇒ y = √(2 + 5x)

1) Para encontrar la función inversa de una funcion primero despejamos la "x".

Y = √(2 + 5x)

x = y² - 2 5

2) Intercambiamos las variables x por y.

Y por x.

Y = x² - 2 5

3) Le expresamos como funcion inversa.

F∧ - 1(x) = x² - 2 5 * El dominio de una funcion iversa es el recorrido de la funcion directa.

* El recorrido de la funcion inversa es el dominio de la funcion directa.

Entonces la funcion inversa es :

f∧ - 1(x) : R ⇒ [ - 2 / 5 ; infinito + [ x ⇒ f∧ - 1(x) = x² - 2 5.