Hallar la ecuación vectorial e implícita del plano que pasa por los puntos : A(3, 5, 7), B(2, 1, 5) y C( - 2, 3, - 5). Además hallar la proyección del vector que va desde A hasta B, sobre el vector que va desde A hasta C. Interprete geométricamente.
ax² + bx + c = 0
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 2 votos · mejor respuesta de Gris756
En resumen
Haremos primero la proyección <img src="https://tex.z-dn.net/?
Haremos primero la proyección
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cvec%7BAB%7D%20%26%3D%26%20%5B2-3%2C%201-5%20%2C%205-7%5D%20%26%3D%26%20%5B-1%2C-4%2C-2%5D%20%26%3D%26%20-%5Chat%7Bi%7D%20-4%5Chat%7Bj%7D%20-2%5Chat%7Bk%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cvec%7BAC%7D%20%26%3D%26%20%5B-2-3%2C3-5%2C5-7%20%5D%20%26%3D%26%20%5B-5%2C-2%2C-2%5D%20%26%3D%26%20-5%5Chat%7Bi%7D%20-2%5Chat%7Bj%7D%20-2%5Chat%7Bk%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" />
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cvec%7B%5Ctextrm%7BProy%7D%7D_%7B%5Cvec%7BAC%7D%7D%28%5Cvec%7BAB%7D%29%20%26%3D%26%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac%7B%5Cvec%7BAC%7D%5Ccdot%20%20%5Cvec%7BAB%7D%7D%7B%5Cvec%7BAC%7D%5Ccdot%20%5Cvec%7BAC%7D%7D%5Cright%29%20%5Cvec%7BAC%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%26%3D%26%20%5Cleft%28%20%5Cdfrac%7B17%7D%7B33%7D%5Cright%29%5B-5%2C-2%2C-2%5D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" />
Geométricamente la proyección de AB sobre AC es otro vector, en el mismo sentido que AC pero distinta magnitud, en este caso 17 / 33 de la magnitud original de AC.
Ahora para encontrar la ecuación del plano necesitamos los vectores AB y AC
La normal del plano es el producto cruz de dichos vectores
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cvec%7B%5Ctextrm%7BN%7D%7D%20%26%3D%26%20%5Cvec%7BAB%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BAC%7D%20%20%26%3D%26%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%0A%5Chat%7Bi%7D%20%26%20%5Chat%7Bj%7D%20%26%20%5Chat%7Bk%7D%20%5C%5C%0A-1%20%26%20-4%20%26%20-2%20%5C%5C%0A-5%20%26%20-2%20%26%20-2%20%0A%5Cend%7Bvmatrix%7D%20%26%3D%26%204%5Chat%7Bi%7D%20%2B%208%5Chat%7Bj%7D%20-18%5Chat%7Bk%7D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" />
Utilizando el punto A(3, 5, 7)
La ecuación implícita del plano es :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A4%28x-3%29%20%2B%208%28y-5%29%20-18%28z-7%29%20%26%3D%26%200%20%5C%5C%20%5C%5C%0A4x%20%2B%208y%20-18z%20%26%3D%26-74%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" />
o bien su forma vectorial
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A4%20%5C%5C%0A8%20%5C%5C%0A-18%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Ccdot%0A%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ax%20%5C%5C%0Ay%20%5C%5C%0Az%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%26%3D%26%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A4%20%5C%5C%0A8%20%5C%5C%0A-18%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Ccdot%0A%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A3%20%5C%5C%0A5%20%5C%5C%0A7%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" />.
Haremos primero la proyección <img src="https://tex.z-dn.net/?
Respuesta : Explicación paso a paso : si porque tambien se le conoce como producto cruz que se le conoce de esa manera ya que el resultado al operar dos vectores es un vector.
La proyección ortogonal de un vector en el plano, es el resultado de trazar líneas desde el origen o punta del vector estas lineas de trazan de forma verticales para proyectar en el plano de las X y de lineas…