Hallar el valor de x |x| = 1, para x € Z + , |x| = 3, para x€Z - , | x | = 8, para x €Z -?

1. 1.

Hacer parametrizaci´on de la curva de intersecci´on del cilindro x

2 + y

2 = 16 y el plano

x + z = 5.

Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura toma su

valor maximo.

Hallar el valor maximo de la curvatura de la curva.

Soluci´on : Tenemos una parametrizacion de la curva :

~r(t) = h4 cos(t), 4 sin(t), 5 − 4 cos(t)i, 0 ≤ t ≤ 2π.

Entonces,

d~r

dt = 4h− sin(t), cos(t), sin(t)i,

d

2~r

dt2 = 4h− cos(t), − sin(t), cos(t)i,

d~r

dt = 4p

1 + sin(t)

2

,

d~r

dt

×

d

2~r

dt2 = 16h1, 0, 1i,

d~r

dt

×

d

2~r

dt2 = 16√

2,

κ(t) =

√

2

4(1 + sin(t)

2

)

3

2

El valor m´aximo de κ(t) corresponde al valor m´ınimo de sin(t)

2

.

El valor minimo de sin(t)

2

es igual a cero, por lo tanto κmax =

√

2

4

, que corresponde a t = nπ, n ∈ Z.

Entonces, la

curvatura toma su valor m´aximo en los puntos h4, 0, 1i y h−4, 0, 9i.