HALLA N PARA LOS NUMEROS : A = 45X60´´n b = 60x45´´n para que se cumpla mcm(a, b) = 12mcd(a, b)´´ = esta elevado?

El valor de n para que se cumpla que m.

C. m.

(a, b) = 12m.

C. d.

(a, b), es igual a 2

.

Datos :

A = 45 × 60ⁿ

B = 60 × 45ⁿ

m.

C. m.

(a, b) = 12m.

C. d.

(a, b)

Descomposición de A en sus factores primos

A = 45 × 60ⁿ

A = 3² × 5 × (2² × 3 × 5)ⁿ

A = 2²ⁿ × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹

Descomposición de B en sus factores primos

B = 60 × 45ⁿ

B = 2² × 3 × 5 × (3² × 5)ⁿ

B = 2² × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹

Cálculo del Máximo Común Múltiplo (m.

C. m.

) : Comunes y no comunes con su mayor exponente2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹

Cálculo del Máximo Común Divisor (m.

C. d.

) : Comunes con su menor exponente2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹

Cálculo de nmcm(a, b) = 12mcd(a, b)

2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹ = 12(2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹)

2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹ = 2² × 3 × (2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹)

2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹ = 2⁴ × 3ⁿ⁺³ × 5ⁿ⁺¹

Mediante la propiedad de la igualdad de miembros podemos establecer : 2n = 4

n = 2

Comprobando :

A = 45 × 60²

A = 162000

B = 60 × 45²

B = 121500

mcm = 2²ⁿ × 3²ⁿ⁺¹ × 5ⁿ⁺¹

mcm = 2⁴ × 3⁵ × 5³

mcm = 16 × 243 × 125

mcm = 486000

mcd = 2² × 3ⁿ⁺² × 5ⁿ⁺¹

mcd = 2² × 3⁴ × 5³

mcd = 4 × 81 × 125

mcd = 40500

486000 ÷ 40500 = 12 Con un valor de n igual a 2, el m.

C. m.

(a, b) = 12m.

C. d.

(a, b).