Halla el valor de la siguiente suma : 3 / 10 + 3 / 100 + 3 / 1000 + ⋯?

RESOLUCIÓN.

El valor de la suma es de 1 / 3.

Explicación.

Para resolver este problema hay que utilizar la ecuación para la sumatoria de las series geométricas para el caso especial de r < 1.

S = a / (1 - r)

Dónde :

S es la sumatoria.

A es el primer término y además es el término independiente de la serie.

R es la constante que se ve afectada en la serie.

Para nuestro caso la ecuación general de una serie geométrica es :

a + ar + ar² + ar³ + .

+ ar ⁿ⁻¹

Para conocer el valor de a se debe sacar como factor común al primer término de toda la serie de la siguiente forma :

a (1 + r + r² + r³ + .

+ rⁿ⁻¹)

Y la serie del problema es :

3 / 10 + 3 / 100 + 3 / 1000 + .

El primer término es 3 / 10, así que se saca como factor común.

3 / 10 * (1 + 1 / 10 + 1 / 100 + .

)

Luego hay que notar que el segundo término de la suma luego de sacar como factor común el valor de a es el valor de r.

Entonces :

a = 3 / 10

r = 1 / 10

Aplicando la ecuación se tiene que :

S = (3 / 10) / (1 - 1 / 10)

S = (3 / 10) / (9 / 10)

S = (3 * 10) / (9 * 10)

S = 30 / 90

S = 3 / 9

S = 1 / 3.