PREGUNTAFlujo de efectivo : La tasa de desembolso <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathbf%7B%5Cdfrac%7BdQ%7D%7Bdt%7D%7D" /> de una donación federal de 2 millones de dólares es proporcional al cuadrado de (100 - t).
El tiempo t se mide en días <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathbf%7B%280%5Cleq%20t%5Cleq%20100%29%7D" /> y Q es la cantidad que queda para ser desembolsada.
Determinar la cantidad que queda para desembolsarse después de 50 días.
Suponer que todo el dinero se gastará en 100 días.
SOLUCIÓNHola!
: D * Observación Unidades * t : días * Q : millonesEstablecemos la relación entre la tasa de desembolso y el tiempo <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cmathbf%7B%5Cdfrac%7BdQ%7D%7Bdt%7D%20%3D%20k%28100-t%29%5E%7B2%7D%7D%7D" /> Siendo k una costante Diferenciaremos para luego integrar y hallar Q en función de "t" <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7BdQ%7D%7Bdt%7D%20%3D%20k%28100-t%29%5E%7B2%7D%5C%5C%5C%5CdQ%20%3D%20%5Bk%28100-t%29%5E%7B2%7D%5Ddt%5C%5C%5C%5C%5Cint%5Climits%7BdQ%7D%20%5C%2C%20%3D%20%5Cint%5Climits%7B%5Bk%28100-t%29%5E%7B2%7D%5D%7D%20%5C%2C%20dt%5C%5C%5C%5CQ%20%3Dk%5Cint%5Climits%7B%28t%5E%7B2%7D%2B100%5E%7B2%7D-200t%29%7D%20%5C%2C%20dt%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7BQ%20%3D%20k%28%5Cdfrac%7Bt%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20-%5Cdfrac%7B200t%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B100%5E%7B2%7Dt%20%29%20%2B%20c%20%7D" /> Donde "c" es la constante de integraciónAnalizamosCuando t = 0, entonces Q = 2(condición inicial), reemplazamos <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Q%20%3D%20k%28%5Cdfrac%7Bt%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20-%5Cdfrac%7B200t%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B100%5E%7B2%7Dt%20%29%20%2B%20c%5C%5C%5C%5C2%3Dk%28%5Cdfrac%7B0%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20-%5Cdfrac%7B200%280%29%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B100%5E%7B2%7D%280%29%20%29%20%2B%20c%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7B%5Cboldsymbol%7Bc%20%3D%202%7D%7D" />Cuando t = 100, entonces Q = 0, reemplazamos <img src="https://tex.z-dn.net/?f=Q%20%3D%20k%28%5Cdfrac%7Bt%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20-%5Cdfrac%7B200t%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B100%5E%7B2%7Dt%20%29%20%2B%202%5C%5C%5C%5C0%20%3D%20k%5B%5Cdfrac%7B%28100%29%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20-%5Cdfrac%7B200%28100%29%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B100%5E%7B2%7D%28100%29%5D%20%2B%202%5C%5C%5C%5Ck%28%5Cdfrac%7B10%5E%7B6%7D%7D%7B3%7D%29%20%3D%20-2%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7B%5Cboldsymbol%7Bk%20%3D%20%5Cdfrac%7B-6%7D%7B10%5E%7B6%7D%7D%7D%7D" />Entonces la ecuación Q en función de "t" sería <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Cboxed%7B%5Cmathbf%7BQ%20%3D%20%5Cdfrac%7B-6%7D%7B10%5E%7B6%7D%7D%28%5Cdfrac%7Bt%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20-%5Cdfrac%7B200t%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B100%5E%7B2%7Dt%20%29%20%2B%202%20%7D%7D%7D" />Nos pide determinar la cantidad que queda después de50 días, es decirCuando t = 50, entonces Q = ?
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Q%20%3D%20%5Cdfrac%7B-6%7D%7B10%5E%7B6%7D%7D%28%5Cdfrac%7B50%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D%20-%5Cdfrac%7B200%2850%29%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B100%5E%7B2%7D%2850%29%20%29%20%2B%202%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7B%5Cmathbf%7BQ%20%3D%200.75%7D%7D" />Rpta.
Después de 50 días habrá 0.
75 millones.