Factorizar a ^ 3 - b ^ 3 - c ^ 3 - 3abc?
Factorizar a ^ 3 - b ^ 3 - c ^ 3 - 3abc.
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En resumen
Se sabe que a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) entonces a³ + b³ + c³ - 3abc = (a³ + b³) + c³ - 3abc = (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc.
Mejor respuesta
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Se sabe que
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
entonces
a³ + b³ + c³ - 3abc =
(a³ + b³) + c³ - 3abc =
(a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc.
Vemos que en la factorización de a³ + b³ aparece ab como término en el segundo factor, lo que nos sugiere añadir c(a² - ab + b²) para hacer aparecer abc y buscar cancelarlo con 3abc.
Tenemos entonces
(a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc =
(a + b)(a² - ab + b²) + c(a² - ab + b²) + c³ - 3abc - c(a² - ab + b²) =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc - a²c + abc - b²c =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - 2abc - a²c - b²c =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - c(2ab + a² + b²) =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - c(a² + 2ab + b²) =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c³ - c(a + b)² =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c(c² - (a + b)²) =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c(c - (a + b))(c + (a + b)) =
(a + b + c)(a² - ab + b²) + c(c - (a + b))(a + b + c) =
(a + b + c)[(a² - ab + b²) + c(c - (a + b))] =
(a + b + c)(a² - ab + b² + c² - ac - bc).
O sea que en el caso especial en que a + b + c = 0, se debería tener a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 ; luego algo tuvo mal MC, o simplemente no terminó de factorizar.
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