Factoriza cada trinomio de la forma a2 + mab + b2 con m diferente de 2 por adicion o sustracciónA = 25A2 + 54AB + 49B2?

Respuesta :

Teniendo el polinomio A = 25A² + 54AB + 49B² .

Primero procedemos a completar cuadrado.

Para ello escribimos la expresión de la siguiente manera, teniendo en cuenta que √25 = 5 y √49 = 7, tenemos : A = (5A)² + 54AB + (7B)² (1)

Posteriormente para completar cuadrar colocamos el primer termino sin el cuadrado más el coeficiente del segundo término entre dos y entre el coeficiente del primer término A = (5A + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B54B%7D%7B2%2A5%7D%20" />)² + K(2)

Desarrollamos el producto notable que queda :

A = (5A)² + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B2%2A5A%2A54B%7D%7B2%2A5%7D%20" /> + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%20%5Cfrac%7B27B%7D%7B5%7D%29%20%5E%7B2%7D%20" /> + K

Ahora el tércer termino de la expresion debe ser igual al tercer termino de la expresion (1), entonces decimos que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%20%5Cfrac%7B27B%7D%7B5%7D%29%20%5E%7B2%7D%20" /> + K = (7B)²

K = (7B)² - <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%20%5Cfrac%7B27B%7D%7B5%7D%29%20%5E%7B2%7D%20" />

K = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B496%7D%20B%7D%7B5%7D%20%29%5E%7B2%7D%20" />

Ahora la expresión (2) que es igual a la expresión (1) se puede escribir como :

(5A + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B54B%7D%7B2%2A5%7D%20" />)² + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B496%7D%20B%7D%7B5%7D%20%29%5E%7B2%7D%20" />

La expresión anterior se puede escribir como :

(5A + <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B54B%7D%7B2%2A5%7D%20" />)² - ( - <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B496%7DB%20%7D%7B5%7D%20%29%5E%7B2%7D%20" />)

Ahora procedemos a aplicar una diferencia cuadrática obteniendo la factorización final :

(5A + [img = 10] - [img = 11])·(5A + [img = 12] + [img = 13]).