Expresa con una sola potencia las expresiones siguientes?

A) Tenes una multiplicación de dos términos de igual base, entonces sus exponentes se suman te queda 3 ^ 5 * 3 ^ 4 = 3 ^ (4 + 5) = 3 ^ 9

b) Entre paréntesis tenes una división de dos términos iguales entonces da 1.

Luego como el paréntesis multiplica a m ^ 3 te queda m ^ 3 multiplicado por 1 es decir m ^ 3

c) En el orden para resolver operaciones, digamos que la multiplicación y la división tienen la misma jerarquía (primero se resuelven los paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas).

Entonces si tenes varías de estas operaciones en un renglón, deberás realizarlas de izquierda a derecha.

Entonces comenzarías con x ^ 2 / x ^ 4 que da 1 / x ^ 2 y luego lo dividirías por x ^ 2, y como dividir es lo mismo que multiplicar por el inverso te quedaría 1 / x ^ 2 sobre 1 / x ^ 2 es decir una división entre dos números iguales, por lo cual da 1.

D) Cuando tenes algo elevado a un exponente (en este caso y elevado al cuadrado) y todo ese término elevado a otro exponente, esto es lo mismo que tener la base * que en este caso sería y * , elevada a la multiplicación de ambos exponentes.

Eso sería y ^ (2 * 3) es decir y ^ 6.

Luego esto está dividido por y ^ 4, como es una división de términos de igual base los exponentes se restan y te queda y ^ (6 - 4) = y ^ 2.

E) De nuevo tenes algo (el 4) elevado a un exponente (el 2) y todo eso elevado a otro exponente (el 5) entonces los exponentes se multiplican y te queda el 4 elevado a la 2 * 5 es decir (4 ^ 2) ^ 5 = 4 ^ (2 * 5) = 4 ^ 10.

Como esta dividido por 4 ^ 6 los exponentes se restan y te queda 4 ^ (10 - 6) = 4 ^ 4.

F) Al igual que antes, queda (9 ^ 2) ^ 3 * 9 = 9 ^ (2 * 3) * 9 = 9 ^ 6 * 9 (9 sería como 9 a la 1 es decir 9 = 9 ^ 1) entonces 9 ^ 6 * 9 = 9 ^ 6 * 9 ^ 1 = 9 ^ (6 + 1) = 9 ^ 7

g) Cualquier número elevado a la cero da 1.

Luego tenes 1 * 3 * 3 ^ 5 = 3 ^ (1 + 5) = 3 ^ 6

h) En el término (2 ^ 2) ^ 2 los exponentes se multiplican y te queda 2 ^ (2 * 2) = 2 ^ 4.

Entonces te queda por hacer la operación 2 ^ 3 * 2 / 2 ^ 4.

Como la división y la multiplicación tienen la misma jerarquía en las operaciones, simplemente hay que empezar de izquierda a derecha.

Es decir que en este caso realizaremos primero la multiplicación.

Te queda 2 ^ (3 + 1) / 2 ^ 4 es decir 2 ^ 4 / 2 ^ 4 = 1.

I) Todos los términos tienen la misma base, si se multiplican los exponentes se suman y si se dividen se restan entonces queda 2 ^ (2 + 4 + 1 - 5) = 2 ^ 2 = 4.

J) Los términos no tienen la misma base pero si tienen el mismo exponente.

Puedo agrupar los términos así 3 ^ 3 * 5 ^ 3 / 7 ^ 3 = { 3 * 5 / 7 } ^ 3 = { 15 / 7 } ^ 3

k) 1 al cubo es multiplicar 1 por si mismo, entonces da 1.

Entonces tenes 4 ^ 3 multiplicado por 1, lo cual da 1.

L) De nuevo cuando tenes algo (en este caso el 2) elevado a un exponente (en este caso el 4) y todo eso elevado a otro exponente (en este caso el 12) los mismos se multiplican.

Entonces tenes 2 elevado a la 4 * 12 es decir 2 elevado a la 48, y todo eso elevado a la cero ( (2 ^ 4) ^ 12 ) ^ 0 = (2 ^ 48 ) ^ 0.

De nuevo tenes algo (el 2) elevado a un exponente (el 48), y todo ese término elevado a otro exponente (el 0), entonces los exponentes se multiplican, te queda 2 ^ (48 * 0) es decir 2 ^ 0 lo cual es 1.

Si tienes dudas sobre si cualquier propiedad se cumple, algo quepuedes probar es buscar un ejemplo más sencillo.

También por ejemplo para ver que pasa si (y ^ 2) ^ 3 es igual a y ^ 6 o cualquier otra expresión con variables, podes darle algún valor a y y checkear que se cumpla.

Ejemplo le doy el valor 5.

De la primer manera me queda (5 ^ 2) ^ 3 = 25 ^ 3 = 15625, que es lo mismo que directamente hacer 5 ^ 3, entonces no es que "comprobé" que se cumpla si o si ya que checkee para solo un valor, pero al menos me sirve para encontrar errores o por si estoy en duda.

Un saludo.