Explica que diferencias hay entre numeros enteros y numeros racionales , despues responde?

1. 1.

Introducci´on.

Es usual observar que en el trabajo con los n´umeros, algunas conclusiones y m´etodos que son correctos y ´utiles en el contexto de los n´umeros enteros, se extienden a los racionales a´un cuando en el nuevo contexto carezcan de validez.

Por ejemplo, no es inusual que ante el pedido que se ordenen de menor a mayor los siguientes n´umeros : 0.

9, 0.

23 y 1 un alumno responda : 1 < 0.

9 < 0.

23. Esto se debe a una extrapolaci´on de la siguiente desigualdad que es correcta a nivel de los n´umeros enteros : 1 < 9 < 23, al caso de la representaci´on decimal de los racionales mencionados.

Se podr´ıa decir que el error responde a la l´ogica al extrapolar de un contexto conocido a otro que se est´a conociendo.

Otra situaci´on relacionada tambi´en con el orden, es que trat´andose de fracciones se comparen en forma independiente numerador y denominador como por ejemplo para ordenar 2 3 y 1 9 .

En este caso, como nueve es el mayor de los d´ıgitos involucrados se escribe que 2 3 < 1 9 .

Tambi´en se cometen errores cuando se extiende equivocadamente el concepto de sucesor y predecesor que es v´alido para los enteros al campo num´erico de los racionales en que no es v´alido.

Por ejemplo, es frecuente que los alumnos piensen que entre 0.

3 y 0.

4 no hay ning´un otro n´umero racional.

Otra confusi´on de ese tipo, aparece cuando se usa la representaci´on decimal y se piensa que a semejanza de lo que sucede con los enteros, un n´umero con m´as cifras es autom´aticamente mayor que otro con menos cifras (por ejemplo que 1, 8 es mayor que 2).

Si bien es ´util que para trabajar sobre los errores se marquen en todas las circunstancias las diferencias, tambi´en es muy importante tener en cuenta que no todo son diferencias entre los enteros y los racionales.

Algunas de las propiedades y de las t´ecnicas de trabajo con los enteros, se generalizan a los racionales.

Por ejemplo, de la misma forma que todo entero tiene un opuesto (por ejemplo el opuesto de 2 es - 2 y el de - 7 es 7), tambi´en todo n´umero racional tiene un opuesto.

Y lo mismo vale para muchas de las propiedades operatorias.

Otra semejanza importante es que tanto los enteros como los racionales admiten una representaci´on decimal, aunque en el caso de los racionales en algunos casos esta representaci´on puede ser infinita –ver las notas tituladas : Los racionales.

El objetivo de estas notas –y los correspondientes ejercicios– es el de ilustrar este tipo de situaciones de semejanzas y de diferencias.

Comenzaremos con las semejanzas m´as notorias y luego trataremos algunas de las diferencias m´as importantes teniendo en cuenta sobre todo los errores m´as frecuentes realizados por los alumnos.

Recordamos que los enteros son : Z = {· · · , −n, · · · , −1, 0, 1, · · · , n, · · · }, y los racionales son : Q = { a b : a, b ∈ Z , b 6 = 0}.

Un entero n se puede interpretar como el racional n 1 y de esta forma se logra que Z ⊂ Q1 .

En estas notas la operaci´on de suma se representa siempre como + y la operaci´on de producto se representa de las siguientes formas : a × b = a.

B = ab, siendo la m´as usual la tercera excepto en caso que pueda haber.