Es una derivada implícita : cEncontrar "dy / dx" de :Raíz de ((x ^ 1 / 2)÷(y ^ 1 / 2))?

Primero debes saber que una función implícita de n variables equivale a ser una superficie de nivel cero de una función de n + 1 variables.

Esta F de n + 1 variables es la que indico en la 3era línea de la imagen que en este caso es F(x, y) (una superficie en el espacio ).

Un teorema en cálculo vectorial asegura que si tienes una F(x, y) cuyas derivadas parciales de 1er orden son continuas en alguna bola abierta de interés, y además dF / dy es diferente de cero para dicho punto , te asegura que en la función implícita equivalente (a F(x, y)) existe , es decir, la función y en términos de x (y(x) ), aún cuando matemáticamente no se la pueda despejar y que sus derivadas parciales están dadas por la ecuación en la línea 2 de la figura.

La respuesta es dy / dx = y / x, obvio esta es la expresión de función de la derivada de dy / dx.

Si te piden el mismo problema pero te especifica hallar dy / dx en el punto x = a y = b , entonces deberás asegurarte que que la bola abierta centrada en (a, b) , tenga derivadas parciales continuas y dF(a, b) / dy no sea cero .

Si resulta cero , entonces la expresión no garantiza la existencia de esta función y(x) .

Pilas que esas ponen en exámenes.