Encuentren todos los numeros naturales mayores que 1500 y menores que 2000 que al dividirlos por 3 y por 5 tengan resto 1 y que al dividirlos por 7 tenga resto 7.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 4 votos · mejor respuesta de Paufg777
Teorema chino del resto
buscamos
x = 3 q1 + 1
x = 5 q2 + 1
x = 7 q3 + 3
n1 = 3 ; r1 = 1
n2 = 5 ; r2 = 1
n3 = 7 ; r3 = 3
N = n1 * n2 * n3 = 3 * 5 * 7 = 105
Primero
n1 = 3
N1 = N / n1 = 35
buscamos solución a
s1 * 35 = 1 + 3 u1
Como
2 * 35 = 70 = 1 + 69 = 1 + 3 * 23
s1 = 2 * * * * * * * * * * *
Segundo
n2 = 5
N2 = N / n2 = 21
buscamos solución a
s2 * 21 = 1 + 5 u2
Como
1 * 21 = 21 = 1 + 20 = 1 + 5 * 4
s2 = 1 * * * * * * * * * * *
Tercero
n3 = 7
N3 = N / n3 = 15
buscamos solución a
s3 * 15 = 1 + 7 u3
Como
1 * 15 = 15 = 1 + 14 = 1 + 2 * 7
s3 = 1 * * * * * * * * * * *
Entonces, la solución general es
x = r1 s1 N1 + r2 s2 N2 + r3 s3 N3 + k N
x = 1 * 2 * 35 + 1 * 1 * 21 + 3 * 1 * 15 + k * 105
x = 70 + 21 + 45 + k * 105
x = 136 + k * 105 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Entre 1500 y 2000
1500 - 136 = 1364 / 105 - > aprox 12
2000 - 136 = 1864 / 105 - > aprox 15
12 * 105 + 136 = 1260 + 136 = 1396 (no en intervalo)
1396 + 105 = 1501
1501 + 105 = 1606
1606 + 105 = 1711
1711 + 105 = 1816
1816 + 105 = 1921
1921 + 105 = 2026 (no en intervalo)
Soluciones
1501 , 1606 , 1711 , 1816 , 1921.