Encuentre la transformada inversa por fracciones parciales?

Bueno, lo primera será pasar a fracciones parciales, entonces tenemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D" />

tenemos en el denominador, tres factores lineales, sin repetición, entonces,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7BB%7D%7Bs-2%7D%2B%5Cfrac%7BC%7D%7Bs%2B1%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7BA%28s-2%29%28s%2B1%29%2BB%28s%29%28s%2B1%29%2BC%28s%29%28s-2%29%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7BAs%5E%7B2%7D-As-2A%2BBs%5E%7B2%7D%2BBs%2BCs%5E%7B2%7D-2Cs%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cfrac%7B%28A%2BB%2BC%29s%5E%7B2%7D%2B%28-A%2BB-2C%29s%2B%28-2A%29%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D" />

en síntesis, nos queda,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7B%28A%2BB%2BC%29s%5E%7B2%7D%2B%28-A%2BB-2C%29s%2B%28-2A%29%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%5C%5C%5C%5C%280%29s%5E%7B2%7D%2B%281%29s%2B%283%29%3D%28A%2BB%2BC%29s%5E%7B2%7D%2B%28-A%2BB-2C%29s%2B%28-2A%29" />

y queda claro que, para que ax ^ {2} + bx + c = 5x ^ {2} + 3x + 1, necesairamente a = 5, b = 3, y c = 1, entonces hacemos los mismo, debemos igualar los coeficientes según cada variable,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7DA%2BB%2BC%3D0%5C%5C-A%2BB-2C%3D1%5C%5C-2A%3D3%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7DA%2BB%2BC%3D0%5C%5C-A%2BB-2C%3D1%5C%5CA%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%20%3D%20%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7DB%2BC%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%5CB-2C%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D2B%2B2C%3D3%5C%5CB-2C%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%20%3D3B%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5CrightarrowB%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%3DB" />

como ya tenemos el valor de A y ahora el de B, es fácil deducir el valor de C, entonces obtenemos que, A = - 3 / 2, B = 5 / 6 y C = 5 / 6

con ésto ya podemos armar las fracciones parciales, entonces

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%3D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%7D%7Bs-2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D%7Bs%2B1%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2s%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%28s-2%29%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%28s%2B1%29%7D" />

finalmente hallemos la transformada inversa, sería,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bs%2B3%7D%7Bs%28s-2%29%28s%2B1%29%7D%5Cright%5C%7D%20%3D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B2s%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%28s-2%29%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%28s%2B1%29%7D%5Cright%5C%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B-%5Cfrac%7B3%7D%7B2s%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%28s-2%29%7D%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%28s%2B1%29%7D%5Cright%5C%7D%3D...%5C%5C%5C%5C...%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-2%7D%7D%5Cright%5C%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-%28-1%29%7D%5Cright%5C%7D%20" />

nota que podemos hacer todo ésto, por la linealidad.

Bien, ahora ésto si te acosejo que busques una tabla de inversas.

O caso contrario vas a tener un serio problema tratando de demostrar ésto.

Entonces, el primero es la transformada inversa de la 1, la segunda y tercera es la transforma de la exponencial, recordemos, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-a%7D%5Cright%5C%7D%20%3De%5E%7Bat%7D" />

entonces fácilmente obtenemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%5E%7B-1%7D%7D%5Cleft%5C%7Bf%28s%29%5Cright%5C%7D%20%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%281%29%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%28e%5E%7B2t%7D%29%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%28e%5E%7B-t%7D%29" />

y con eso sería todo¡.

Puedes desarrollar un poco más eso.

Pero hasta ahí me parece adecuado.