Encuentre la transformada de Laplace por definición?

Bueno, por definición sabemos que,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%7D%5C%7Bf%28t%29%5C%7D%20%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Df%28t%29%7Ddt" />

entonces, hallemos la transformada,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%7D%5C%7B5t%5C%7D%20%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7D5t%7Ddt%3D5%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Dt%7Ddt" />

debemos hacer una integración por partes, para eso, consideramos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dt%5Chspace%7B6mm%7Ddu%3Ddt%5C%5Cdv%3De%5E%7B-st%7Ddt%5Chspace%7B6mm%7D%5Cdisplaystyle%20v%3D-%5Cfrac%7Be%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%20" />

entonces tenemos,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle5%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Dt%7Ddt%3D5%5Cleft%5B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bte%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7D%7Ddt%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C...%3D5%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bte%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Be%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%3D5%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bt%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D" />

ahora habrá que evaluar cada uno de esas, como son integrales impropias, entonces primero hagamos el primer resultado

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bt%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29-%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%280%29%7D%7Be%5E%7B-s%280%29%7Ds%7D%5Cright%29%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%5Cequiv%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cinfty%7D" />

para levantar la indeterminación, podemos usar l`Hopital, entonces derivamos arriba y abajo, y nos queda

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%7D%3D%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%5E%7B2%7D%7D%5Cright%29%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bs%28%5Cinfty%29s%5E%7B2%7D%7D%7D%3D0" />

es como que el exponencial ya sabemos que crece de forma exponencial es decir muy rápido.

Y si está elevada a una tendecia exrtemandamente gigantesca.

Ese valor es cero, listo, ahora vamos con el siguiente,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29-%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bs%280%29%7Ds%7D%5Cright%29%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%29%5Cequiv%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%5D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bs%28%5Cinfty%29s%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%3D0%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D" />

listo, entonces uniendo éstos dos resultados que hemos obtenido de los límties nos queda,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle5%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Dt%7Ddt%3D5%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bt%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%3D5%280%29%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%5E%7B2%7D%7D" />

y eso sería todo,

El problema se pude haber resumido bastante, si hubieras supuesto que ya conocíamos la transformada de 1, pero bueno.

Eso sería todo.