Encuentre la transformada de Laplace por definición?
Encuentre la transformada de Laplace por definición.
En resumen
Bueno, por definición sabemos que, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%7D%5C%7Bf%28t%29%5C%7D%20%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Df%28t%29%7Ddt" /> entonces, hallemos la transformada, <img src="https://tex.z-dn.net/?
Mejor respuesta
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Bueno, por definición sabemos que,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%7D%5C%7Bf%28t%29%5C%7D%20%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Df%28t%29%7Ddt" />
entonces, hallemos la transformada,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cmathscr%7BL%7D%5C%7B5t%5C%7D%20%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7D5t%7Ddt%3D5%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Dt%7Ddt" />
debemos hacer una integración por partes, para eso, consideramos,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=u%3Dt%5Chspace%7B6mm%7Ddu%3Ddt%5C%5Cdv%3De%5E%7B-st%7Ddt%5Chspace%7B6mm%7D%5Cdisplaystyle%20v%3D-%5Cfrac%7Be%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%20" />
entonces tenemos,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle5%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Dt%7Ddt%3D5%5Cleft%5B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bte%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7D%7Ddt%5Cright%5D%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C...%3D5%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bte%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Be%5E%7B-st%7D%7D%7Bs%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%3D5%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bt%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D" />
ahora habrá que evaluar cada uno de esas, como son integrales impropias, entonces primero hagamos el primer resultado
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bt%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29-%5Cleft%28-%5Cfrac%7B%280%29%7D%7Be%5E%7B-s%280%29%7Ds%7D%5Cright%29%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%5Cequiv%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cinfty%7D%7B%5Cinfty%7D" />
para levantar la indeterminación, podemos usar l`Hopital, entonces derivamos arriba y abajo, y nos queda
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%7D%3D%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%5E%7B2%7D%7D%5Cright%29%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bs%28%5Cinfty%29s%5E%7B2%7D%7D%7D%3D0" />
es como que el exponencial ya sabemos que crece de forma exponencial es decir muy rápido.
Y si está elevada a una tendecia exrtemandamente gigantesca.
Ese valor es cero, listo, ahora vamos con el siguiente,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29-%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bs%280%29%7Ds%7D%5Cright%29%3D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%5Cright%29%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%29%5Cequiv%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bb%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bsb%7Ds%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%5D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bs%28%5Cinfty%29s%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%3D0%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D" />
listo, entonces uniendo éstos dos resultados que hemos obtenido de los límties nos queda,
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle5%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-st%7Dt%7Ddt%3D5%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bt%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28-%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bst%7Ds%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%5E%7Bb%7D%3D5%280%29%2B%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%7D%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B5%7D%7Bs%5E%7B2%7D%7D" />
y eso sería todo,
El problema se pude haber resumido bastante, si hubieras supuesto que ya conocíamos la transformada de 1, pero bueno.
Eso sería todo.
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