Encuentra las dimensiones de un rectángulo de máximo perimetro inscrito en un circulo de radio 3?
Encuentra las dimensiones de un rectángulo de máximo perimetro inscrito en un circulo de radio 3.
En resumen
Te anticipo que la respuesta es un cuadrado. Veamos. Sean x e y la base y la altura del rectángulo de la figura.
Mejor respuesta
9
Te anticipo que la respuesta es un cuadrado.
Veamos.
Sean x e y la base y la altura del rectángulo de la figura.
Por un lado : x² + y² = 6² = 36
El perímetro es P = 2 (x + y)
Pongamos y en función de x : y = √(36 - x²)
Reemplazamos en P = 2 [x + √(36 - x²)], quedando P como una función de x
Una condición de máximo es la primera derivada nula.
La derivada de la raíz vale : 1 / [ 2√(36 - x²)] .
( - 2x)² = - x / √ / 36 - x²)
Luego P ' = 2 [ 1 - x / √ / 36 - x²)] = 0 ; el 2 no participa :
Resulta entonces - x = √ / 36 - x²) ; elevamos al cuadrado :
x² = 36 - x² ; 2 x² = 36 ; x = √18
Con este valor de x, resulta y = x
Por lo tanto, el rectángulo resulta ser un cuadrado de lado√18
Saludos Herminio.