Encuentra las dimensiones de un rectángulo de máximo perimetro inscrito en un circulo de radio 3?

Te anticipo que la respuesta es un cuadrado.

Veamos.

Sean x e y la base y la altura del rectángulo de la figura.

Por un lado : x² + y² = 6² = 36

El perímetro es P = 2 (x + y)

Pongamos y en función de x : y = √(36 - x²)

Reemplazamos en P = 2 [x + √(36 - x²)], quedando P como una función de x

Una condición de máximo es la primera derivada nula.

La derivada de la raíz vale : 1 / [ 2√(36 - x²)] .

( - 2x)² = - x / √ / 36 - x²)

Luego P ' = 2 [ 1 - x / √ / 36 - x²)] = 0 ; el 2 no participa :

Resulta entonces - x = √ / 36 - x²) ; elevamos al cuadrado :

x² = 36 - x² ; 2 x² = 36 ; x = √18

Con este valor de x, resulta y = x

Por lo tanto, el rectángulo resulta ser un cuadrado de lado√18

Saludos Herminio.