En una progresion aritmetica el ultimo termino es 2 + 7√2, la razón es √2 y la suma 16 + 28√2?

Veamos :

Sabemos que an = a1 + r (n - 1) y que Sn = n / 2 (a1 + an)

an = 2 + 7√2 ; r = √2 ; Sn = 16 + 28√2 ; reemplazamos en las anteriores.

2 + 7√2 = a1 + √2 (n - 1) (1)

16 + 28√2 = n / 2 (a1 + 2 + 7√2) (2)

Despejamos a1 de (1) y reemplazamos en (2)

a1 = 2 + 7√2 - √2 (n - 1), quedando :

16 + 28√2 = n / 2 [2 + 7√2 - √2 (n - 1) + 2 + 7√2]

16 + 28√2 = n / 2 [4 + 14 √2 - √2 (n - 1) ]

Quitamos paréntesis :

16 + 28√2 = 2n + 7√2 n - √2 n² / 2 - √2 n / 2

Armamos la ecuación de segundo grado en n

√2 / 2 n² - n (2 + 7√2 + √2 / 2) + 16 + 28√2 = 0

Sus raíces son n = 8 ; n = 2√2 + 7 ; ésta última se desecha, n es entero.

Finalmente el número de términos es 8

Resulta a1 = 2 ; verificamos :

an = 2 + √ (8 - 1) = 2 + 7√2

Sn = 8 / 2 (2 + 2 + 7√2) = 16 + 28√2

Saludos Herminio.