Se trata de una sucesión cuadrática a la vista de los datos ya que hay que fijarse en la manera en que aumentan los términos de la progresión.
Términos : 1º 2º 3º 4º
Vasos : 1 4 9 16 .
Etc
Diferencia 1 : + 3 + 5 + 7 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒(primer orden)
Diferencia 2 : + 2 + 2 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒(segundo orden)
Puede verse como una sucesión dentro de otra sucesión y en el segundo orden es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 entre dos términos consecutivos.
El ejercicio nos pide la cantidad de vasos que se llenarán en el piso más bajo de una pirámide de 7 pisos, por tanto nos está pidiendo el término nº 7 (a₇).
Obviamente no es un término muy alejado del primero y podría sacarse por tanteo simplemente añadiendo la cantidad correspondiente a cada piso de la pirámide pero está claro que el ejercicio persigue que se resuelva con las fórmulas de una sucesión.
Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general (o enésimo, <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n" />) debe tener esta forma :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%20%3D%20an%5E2%2Bbn%2Bc" />
.
Expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.
Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión en concreto hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos de lo que he escrito arriba.
Vasos = .
1 . que llamaré C
Diferencia 1 = + 3 .
Que llamaré B
Diferencia 2 = + 2 .
Que llamaré A
Hay que acudir a esta expresión :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20a_n%3D%20%5Cfrac%7BA%7D%7B2%7D%20n%5E2%2B%28B-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20A%29n%2B%28A-B%2BC%29" />
(no me preguntes de dónde sale porque hasta ahí no llego, algún cerebrito debió deducirla y es la que se usa para encontrar el término enésimo de cualquier sucesión cuadrática, toca memorizarla)
Ahora sólo hay que sustituir el valor de A, B, C, en esa expresión y resolver.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7B2%7D%2A%20n%5E2%2B%283-%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%2A2%29%2An%2B%282-3%2B1%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3Dn%5E2%2B0%2An%2B0%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20a_n%3Dn%5E2" />
Si usamos ese término enésimo para calcular el que nos pide el ejercicio :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_7%20%3D%207%5E2%20%3D%2049%20" />
En el piso séptimo de la pirámide habrá 49 vasos.
Si la pregunta pide el total de vasos que se llenarán, hay que sumar el valor de todos los términos :
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140 vasos.
Saludos.