En una division de polinomios el dividendo es 3× ^ 4 - 5× ^ 3 - 5× ^ 3 + 6× ^ 2 + 3× - 2 el cociente 3x ^ 2 + × + 5 y el resto, 12x - 7?

Veamos.

Siendo el dividendo de grado 4 y el cociente de grado 2, el divisor deberá ser de grado 2, de la forma ax ^ 2 + bx + c

D(x) = C(x) .

D(x) + R(x) (dividendo = cociente por divisor más resto)

Por lo tanto :

3x ^ 4 - 5x ^ 3 + 6x ^ 2 + 3x - 2 = (3x ^ 2 + x + 5) (ax ^ 2 + bx + c) + 12x - 7

a, b y c son constantes a determinar.

Desarrollamos el segundo miembro y factorizamos en x ^ 4, x ^ 3, x ^ 2, x y término independiente.

Resulta :

3ax ^ 4 + (a + 3b)x ^ 3 + (5a + b + 3c)x ^ 2 + (5b + c + 12)x + (5c - 7)

igualamos los términos de igual grado :

3a = 3

a + 3b = - 5

5a + b + 3c = 6

5b + c + 12 = 3

5c - 7 = - 2

De la primera ; a = 1

De la última ; c = 1

De la segunda : b = - 2

Verificamos la tercera : 5 .

1 - 2 + 3 .

1 = 6

Verificamos la cuarta : 5 ( - 2) + 1 + 12 = 3

Por lo tanto el divisor es x ^ 2 - 2x + 1

Saludos Herminio.