En un polinomio P(x, y), homogéneo y completo en “x” e “y”, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 420?

Un polinomio homogéneo es aquel en que los grados de todos los monomios son iguales.

Este es un un ejemplo de polinomio homogéneo :

x ^ 5 + x ^ 4 y + x ^ 3 y ^ 2 + x ^ 2 y ^ 3 + xy ^ 4 + y ^ 5

Cada monomio tiene grado 5 :

x ^ 5 = > 5

x ^ 4 y = > 4 + 1 = 5

x ^ 3 y ^ 2 = > 3 + 2 = 5

x ^ 2 y ^ 3 = > 2 + 3 = 5

x y ^ 4 = 1 + 4 = 5

y ^ 5 = 5

La suma de los grados absolutos de este polinomio será 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, es decir 5 * 6 = 30.

En general, para un polinomio con dos letras, la suma de los grados absolutos de sus términos será A * (A + 1).

Por tanto, en este caso : A * (A + 1) = 420

A ^ 2 + A - 420 = 0

Factorizando :

(A + 21)(A - 20) = 0 = > A = - 21 y A = 20.

Solo tiene sentido la solución positiva.

Por tanto, el grado homogeneidad es 20.

Es decir el polinomio es :

x ^ 20 + x ^ 19y + x ^ 18 y ^ 2 + x ^ 17 y ^ 3 + .

+ x ^ 2 y ^ 18 + x y ^ 19 + y ^ 20

Respuesta : 20.