En un cine, la segunda fila de butacas está a 10 metros de la pantalla y la séptima fila está a 16 metros?

Si esos datos los convertimos en elementos de una progresión lo primero que hay que pensar es que todas las filas están separadas por la misma distancia, por lo tanto, la distancia hasta la pantalla de cada una de las filas irá aumentando en una cantidad fija, es decir, se trata de una progresión aritmética (PA) donde cada término se obtiene sumando una cantidad al anterior y a esa cantidad se le llama diferencia (d)

Si la 2ª fila está a 10 m.

De la pantalla eso lo trasladamos a la progresión y decimos que es el 2º término de la progresión a₂ y tiene un valor de 10

Para obtener el 3º término tendríamos que sumarle la diferencia (d) que desconocemos y ocurriría que : a₃ = a₂ + d

Del mismo modo.

A₄ = a₃ + d = a₂ + d + d = a₂ + 2d .

Ok? Por ese procedimiento llegaríamos al término a₇ = a₂ + 6d

Como sabemos que a₇ = 16 .

Sustituyo en esa última ecuación :

16 = 10 + 6d .

Despejando "d".

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=d%3D%20%5Cfrac%7B16-10%7D%7B6%7D%3D%20%5Cfrac%7B6%7D%7B6%7D%3D1%20%20" />

Sabiendo la diferencia (1) calculo fácilmente el término a₁ simplemente restándole esa diferencia y tengo que.

A₁ = 10 - 1 = 9

Ahoraya puedo acudir a la fórmula con la que se calcula el término enésimo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D%20a_1%2B%28n-1%29%2Ad" />

Y tengo los siguientes datos :

a₁ = 9

d = 1

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D28" />

El ejercicio me pide calcular el orden que ocupará en la progresión el término que tenga valor 28, es decir, me pide el valor de "n", y sé que<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3D28" />

Sustituyo en la fórmula.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=28%20%3D%209%2Bn-1" />

Y despejo "n".

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=n%3D28-9%2B1%3D20" />

Y con esto he resuelto el ejercicio ya que el término buscado es la fila nº 20.

La persona debe sentarse en la fila nº 20

Saludos.

PD : Si tienes dudas, plantéamelas abajo en los comentarios.