Buenas noches,
Para resolver el problema planteado, es importante definir las condiciones del problema.
Inicialmente se tiene que el odontólogo por su horario de trabajo es capaz de atender 4 horas diarias, y por cada turno de atención a un paciente demora 30 minutos o 1 / 2 de hora, de modo que requerimos definir cuántos turnos es capaz de atender por día, a partir de una sencilla regla de 3 :
Si por cada 1 / 2 de hora .
Atiende a 1 paciente
En 4 horas de labora .
¿Cuántos X pacientes atenderá?
X = (4 horas * 1 paciente) / 0.
5 horas = 8 turnos.
Según lo cual el odontólogo estará en capacidad de atender a los 4 pacientes que requieren de un turno cada uno en un día.
Para definir la forma en que se pueden tomar los turnos, es necesario plantear una combinatoria, donde se relacionen la cantidad de turnos que puede ofertar por día el odontólogo y la cantidad de pacientes interesados en tomarlos, así que definiremos la cantidad de turnos como la variable 'a'yla cantidad de turnos de interés como 'b', los cuales se relacionan a través de la expresión general :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Combinatoria%20%28C%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Ba%21%7D%7B%28a-b%29%21%7D%20" /> .
Expresión (1)
Donde como se aprecia, se establecen a través de la herramienta matemática 'factorial'.
Ahora bien, la cantidad de turnos por día tiene un valor de a = 8, mientras que los turnos de interés son b = 4, que al evaluar en la expresión (1), se tiene :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=Combinatoria%20%28C%29%20%3D%20%5Cfrac%7B8%21%7D%7B%288-4%29%21%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B40320%7D%7B24%7D%20%3D%201680" />
De modo que será posible de 1680 formas tomar los turnos para que los 4 hijos sean atendidos en un día.
Espero haberte ayudado.