En la progresión geométrica :3 / 2 ; 9 / 4 ; 27 / 8 ; ?

Tenemos una sucesión de la forma :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28n%29%3Da%20r%5E%7Bn-1%7D%20" />

Porque el problema nos dice que es geométrica.

Hallamos la razón dividiendo un término para su antecesor :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20%7D%7B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20" />

Podemos hacerlo con los dos últimos términos y comprobar que es lo mismo :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=r%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cfrac%7B27%7D%7B8%7D%20%7D%7B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20" />

El primer término es ''a'' :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20" />

Y lo que nos solicitan es el cociente entre el término 12, y el 15.

Buscamos ese par de términos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%2812%29%3D%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%28%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%5E%7B12-1%7D%3D%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%5E%7B11%7D%20%3D%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%29%5E%7B12%7D%20%20%20" />

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%2815%29%3D%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%29%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%5E%7B15-1%7D%20%20%3D%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%5E%7B14%7D%3D%28%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%29%5E%7B15%7D%20%20%20" />

Y, luego lo que nos piden es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7Bf%2812%29%7D%7Bf%2815%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%28%20%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%29%5E%7B12%7D%20%7D%7B%28%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%29%5E%7B15%7D%20%7D%20%3D%20%28%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%29%5E%7B-3%7D%20%3D%20%28%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%29%5E%7B3%7D%3D%20%5Cfrac%7B8%7D%7B27%7D%20%20" />

Un saludo.