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En la figura aparece una sucesión infinita de cuadrados C1, C2, C3, … Consideramos las sucesiones an, An, y Pn, correspondientes a los lados, áreas y perímetros de los sucesivos cuadrados?

En la figura aparece una sucesión infinita de cuadrados C1, C2, C3, … Consideramos las sucesiones an, An, y Pn, correspondientes a los lados, áreas y perímetros de los sucesivos cuadrados. A partir del cuadrado inicial de lado a, cada cuadrado Ck + 1 se construye tomando los vértices en los lados del cuadrado anterior, de manera que cada vértice está a una distancia del cuadrado Ck . A. Determine la relación entre y ak + 1 y ak b. Halle las expresiones del término general de las sucesiones an, An, y Pn. Calcule ∑∞p_n ver figura en el archivo.

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MatemáticasNivel Básico

En resumen

Supungamos que el vértice delsegundo cuadrado esté a una distancia del vértice del primero<img src="https://tex.z-dn.net/?f=az" /> (en el lado izquierdo), donde<img src="https://tex.z-dn.net/?f=z%5Cin%20%280%2C1%29" /> entonces el lado del segundo es : <img src="https://tex.z-dn.

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Supungamos que el vértice delsegundo cuadrado esté a una distancia del vértice del primero<img src="https://tex.z-dn.net/?f=az" /> (en el lado izquierdo), donde<img src="https://tex.z-dn.net/?f=z%5Cin%20%280%2C1%29" /> entonces el lado del segundo es : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_2%3D%5Csqrt%7Ba%5E2z%5E2%2B%28a-az%29%5E2%7D%3Da%5Csqrt%7B2z%5E2-2z%2B1%7D" /> <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_2%3Da%5Csqrt%7B2%5Cleft%28z-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D" />

El tercer cuadrado

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_3%3Da_2%5Csqrt%7B2%5Cleft%28z-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%20%5C%5C%0A%0A%5Cboxed%7Ba_3%3Da%5Csqrt%7B2%5Cleft%28z-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5E2%7D" />

el n - ésimo cuadrado :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a_n%3Da%5Csqrt%7B2%5Cleft%28z-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5C%2Cn-1%7D" /> = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A_n%3Da_n%5E2%5C%5C%0Ap_n%3D4a_n%5C%5C%20%5C%5C%0A" /> = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0AS%3D%5Csum%5Climits_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7Dp_n%3D4a%5Csum%5Climits_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D%5Csqrt%7B2%5Cleft%28z-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5C%2Cn-1%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%0A%5Cboxed%7BS%3D%5Cdfrac%7B4a%7D%7B1-%5Csqrt%7B2%5Cleft%28z-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7D%7D" />.

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