El lado mayor de un triangulo rectangulo mide 41 cm y su área es de 180 cm ^ 2 ?

Respuesta : Los lados menores miden 5.

31 cm y 40.

67 cm.

Análisis y desarrollo

Debido a que nos plantean un solo lado conocido del triángulo y el área del mismo, del triángulo rectángulo tendremos que hacer una relación tanto por sus lados como por su área.

Para un triángulo rectángulo su área está dada por :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bb%2Aa%7D%7B2%7D%20" />

Donde :

Área : A

b : cateto adyacente del triángulo

a : cateto opuesto del triángulo

Se sabe que el área es de 108 cm², dato que sustituiremos en la ecuación pasada :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=108%20%3D%20%5Cfrac%7Bb%2Aa%7D%7B2%7D%20" />, despejamos el "producto de b por a" :

108× 2 = b× a

216 = b× a (I)

Otro dato que conocemos es referente a que su lado mayor mide 41 centímetros, es decir la hipotenusa del triángulo, por lo cual plantearemos Pitágoras para realizar otra relación :

41² = a² + b² (II), despejamos a de I :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%20%3D%20%20%5Cfrac%7B216%7D%7Bb%7D%20" />

Sustituimos en II :

41² = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%28%20%5Cfrac%7B216%7D%7Bb%7D%20%29%5E%7B2%7D%20" /> + b²

1681 = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B46656%7D%7B%20b%5E%7B2%7D%20%7D%20" /> + b²

1681 = <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B46656%2B%20b%5E%7B4%7D%20%7D%7B%20b%5E%7B2%7D%20%7D%20" />

1681b² = 46656 + b⁴

b⁴ - 1681b² + 46656 = 0, sea u = b²para formar una ecuación de segundo grado

u² - 1681u + 46656 = 0

Se obtiene :

u = 28.

23

u = 1652.

77

Pero : u = b², por lo que b = √u

b = √28.

23 = 5.

31

b = √1652.

77 = 40.

66

Siendo estas dos las posibles soluciones

Buscaremos el valor de a :

Si b = 5.

31 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%20%3D%20%5Cfrac%7B216%7D%7B5.31%7D%3D40.67cm" />

Si b = 40.

67 : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%20%3D%20%5Cfrac%7B216%7D%7B40.67%7D%3D5.31cm" />.