El entero positivo n y el primo p cumplen que p no divide a (3n)?
El entero positivo n y el primo p cumplen que p no divide a (3n)! Pero si divide a (3n + 1)! + (3n + 2). Mostrar que 3 divide a p − 1.
Pregunta de Matemáticas · 1 respuesta · 8 votos · mejor respuesta de Elkawaihernand
En resumen
Vamos a desarrollar la expresión E que p divide : <img src="https://tex.z-dn.net/?
Respuestas de la comunidad
Mejor respuesta
Vamos a desarrollar la expresión E que p divide :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=E%3D%283n%2B1%29%21%2B%283n%2B2%29%21%5C%5C%5C%5C%0AE%3D%283n%2B1%29%283n%29%21%2B%283n%2B2%29%283n%2B1%29%283n%29%21%5C%5C%5C%5C%0AE%3D%283n%29%21%5B%283n%2B1%29%2B%283n%2B2%29%283n%2B1%29%5D%5C%5C%5C%5C%0AE%3D%283n%29%21%5B3n%2B1%2B9n%5E2%2B9n%2B2%5D%5C%5C%5C%5C%0AE%3D%283n%29%21%289n%5E2%2B12n%2B3%29%5C%5C%5C%5C%0AE%3D3%283n%29%21%283n%5E2%2B4n%2B1%29%5C%5C%5C%5C%20E%3D3%283n%29%21%28n%2B1%29%283n%2B1%29" />
Como p divide E, pero no divide (3n)!
(consquentemente p > 3n, porque p es primo y no divide cualquier número igual o menos de 3n), entonces p divide (n + 1) o (3n + 1).
Sabemos que p > 3n, luego p divide 3n + 1.
Por la misma razón debemos tener p = 3n + 1.
Por lo tanto :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=p%3D3n%2B1%5C%5C%5C%5C%0A3n%3Dp-1%5C%5C%5C%5C%0An%3D%5Cdfrac%7Bp-1%7D%7B3%7D" />
Tenemos que n es un entero, entonces 3 divide p - 1.
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=~~%5Cblacksquare" />.
Preguntas frecuentes
El entero positivo n y el primo p cumplen que p no divide a (3n)?
Vamos a desarrollar la expresión E que p divide : <img src="https://tex.z-dn.net/?