El diametro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos a ( - 8, - 3) b (4, 6) obtener la ecuacion de la circunferencia?

La ecuación general de la circunferencia es :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x-a%29%5E2%2B%28y-b%29%5E2%3Dr%5E2" />

Cuyo centro es el punto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=C%28a%2Cb%29" /> y cuyo radio es <img src="https://tex.z-dn.net/?f=r" />.

De manera que con la información del enunciado, se puede hallar el punto medio entre los dos puntos dados, el cual sería el centro de la circunferencia.

Fórmula del punto medio :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28x_1%2Cy_1%29%3BB%28x_2%2Cy_2%29%5CLongrightarrow%20PM%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7Bx_1%2Bx_2%7D%7B2%7D%2C%5Cdfrac%7By_1%2By_2%7D%7B2%7D%5Cright%29" />

Aplicando lo anterior :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=A%28-8%2C-3%29%3BB%284%2C6%29%5CLongrightarrow%20PM%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-8%2B4%7D%7B2%7D%2C%5Cdfrac%7B-3%2B6%7D%7B2%7D%5Cright%29%20%5C%5C%20PM%3D%5Cleft%28-2%2C%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cright%29%20%5Clongleftarrow%20%5Ctext%7BCoordenadas%20del%20centro%7D" />

Ahora, el radio es la distancia entre el centro y uno de los puntos de la circunferencia.

De manera que se halla con la fórmula de distancia entre dos puntos :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=B%284%2C6%29%3B%20C%5Cleft%28-2%2C%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cright%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20d_%7BBC%7D%3D%5Csqrt%7B%28x_2-x_1%29%5E2%2B%28y_2-y_1%29%5E2%7D%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20r%3D%5Csqrt%7B%284-%28-2%29%29%5E2%2B%5Cleft%286-%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5Cright%29%5E2%7D%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20r%3D7.5" />

Por último, reemplazamos en la ecuación del principio :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%28x-a%29%5E2%2B%28y-b%29%5E2%3Dr%5E2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%28x-%28-2%29%29%5E2%2B%5Cleft%28y-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cright%29%5Cright%29%5E2%3D7.5%5E2%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%28x%2B2%29%5E2%2B%5Cleft%28y-%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2%3D56.25" />.