Ejercicios resueltos de calculo vectorial pita ruiz ?

Claudio Pita Ruiz.

Funciones Vectoriales

Capítulo #2 Gradiente

Ejemplo 1

La función f : R ^ 3⇒ R dada por f(x, y, z) = x ^ 2 y ^ 3 z ^ 4 tiene por derivadas parciales a :

df / dx = 2x y ^ 3 z ^ 4 ; df / dy = 3x ^ 2 y ^ 2 z ^ 4 ; df / dz = 4x ^ 2 y ^ 3 z ^ 3

En el punto(1, 1, 1) estas derivadas son :

df / dx (1, 1, 1) = 2 ; df / dy (1, 1, 1) = 3 ; df / dz (1, 1, 1) = 4

Entonces el vector gradiente de la función f en el punto (1, 1, 1) es :

grad f(1, 1, 1) = (2, 3, 4)

la derivada direccional de la función f en la dirección del vector unitario v = (1 / √3 ; 1 / √3 ; 1 / √3) es

df / dv (1, 1, 1) = grad( f(1, 1, 1) * v = (2, 3, 4) * (1 / √3 ; 1 / √3 ; 1 / √3) = (2 / √3) + (3 / √3) + (4 / √3) = 9 / √3 = 3√3.