Ejemplos de la propiedad interna de los racionales?

Una operación binaria interna (también llamada ley de composición interna) es una aplicación de A x A en A.

Más claro : Tenemos un conjunto, tomamos un par ordenado (ordenado es importante) de elementos y le aplicamos una regla que adjudica a ese par de elementos un elemento del conjunto.

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

Podemos tomar cualquier par de números naturales, multiplicarlos y obtenemos otro número natural, por lo tanto la función multiplicación es una operación binaria interna.

Ejemplo : La función división no es una operación binaria interna porque se obtienen números que no pertenecen al conjunto de los números naturales.

En este ejemplo se comprende la importancia de la palabra ordenado que hemos empleado en la definición, porque no es lo mimso dividir a / b que b / a

Propiedades

Asociativa

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

Tomemos tres (o más números naturales) a, b y c.

Veremos que a x (b x c) = (a x b) x c.

La función multiplicación tiene la propiedad asociativa en este ejemplo.

Conmutativa

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

Tomemos dos números naturales cualesquiera a y b.

Veremos que a x b = b x a.

La función multiplicación tiene la propiedad conmutativa.

Distributiva

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación y la función suma.

Cumple esta propiedad porque a x (b + c) = a x b + a x c.

Elemento neutro

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

El 1 es el elemento neutro para la multiplicación, pues a x 1 = a.

Elemento simétrico

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

No tiene elemento simétrico porque el número 1 / n no pertenece al conjunto de los números naturales.

Elemento regular

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

El 1 es el único elemento regular (por la derecha y por la izquierda) porque cumple a x 1 = b x 1 = = = > a = b.

Elemento idempotente

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

El 1 es el único elemento idempotente porque 1 x 1 = 1.

Elemento absorbente

Ejemplo : Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación.

No tiene elemento absorbente porque no existe ningún número natural que cumpla que para todo número natural a, a x (elemento absorbente) = (elemento absorbente) x a = elemento absorbente.

[Principal].