Ecuaciones de segundo grado con dos incognitas?

Mira,

x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0.

(1)

x² + y² - 2x = 0.

(2)

Ambas son ecuaciones de dos circunferencias.

Primero multiplicamos la ecuación (2) por - 1 se la sumamos a la ecuación (1) y tenemos que :

x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 - x² - y² + 2x = 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4x - 4y + 2x + 4 = 0 = > - 2x - 4y + 4 = 0

Despejamos 'y' y tenemos que :

4y = - 2x + 4 = > y = ( - x / 2) + 1.

(3)

Sustituimos (3) en (2) y tenemos que :

x² + y² - 2x = 0

x² + [( - x / 2) + 1]² - 2x = 0

x² + ( - x / 2)² + 2( - x / 2)(1) + (1)² - 2x = 0

x² + (x² / 4) - x + 1 - 2x = 0

x² + (x² / 4) - 3x + 1 = 0

Multiplicamos en ambos lados de la igualdad por (4) y tenemos que :

4x² + x² - 12x + 4 = 0

5x² - 12x + 4 = 0

Por fórmula general llegamos a que :

x1 = 2.

(4)

x2 = 2 / 5.

(5)

Para obtener la correspondiente coordenada en el eje 'y' sustituimos las ecuaciones (4) y (5) en (3).

Sustituimos (4) en (3)

y = ( - x / 2) + 1

y1 = ( - x1 / 2) + 1

y1 = ( - 2 / 2) + 1

y1 = - 1 + 1

y1 = 0

Por lo que un punto de intersección es :

P1 = (x1, y1) = (2, 0)

Sustituimos (5) en (3)

y = ( - x / 2) + 1

y2 = ( - x2 / 2) + 1

y2 = [ - (2 / 5) / 2] + 1

y2 = [ - 2 / 10] + 1

y2 = [ - 1 / 5] + 1

y2 = ( - 1 + 5) / 5

y2 = 4 / 5

Por lo que el otro punto de intersección es :

P2 = (x2, y2) = (2 / 5, 4 / 5) = (0.

4, 0.

8)

Así, los puntos dónde se interceptan (1) y (2) son :

>> P1 = (2, 0)

>> P2 = (0.

4, 0.

8) = = = = = = = = = = = = = =

COMPROBACIÓN = = = = = = = = = = = = = =

Para comprobar que las gráficas de las ecuaciones (1) y (2) se interceptan en P1 y P2 debemos sustituir cada punto en ambas ecuaciones y ver que las satisfacen.

Solo voy ha hacer la comprobación para el punto P2 y te dejo que hagas la comprobación para el punto P1.

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 si P = (x, y) = (0.

4, 0.

8) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Sustituimos el punto P2 = (0.

4, 0.

8) en la ecuación (1) :

(0.

4)² + (0.

8)² - 4(0.

4) - 4(0.

8) + 4 = 0

0.

16 + 0.

64 - 1.

6 - 3.

2 + 4 = 0

0.

8 - 4.

8 + 4 = 0

4.

8 - 4.

8 = 0

0 = 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

x² + y² - 2x = 0 si P = (x, y) = (0.

4, 0.

8) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Sustituimos P2 = (0.

4, 0.

8) en la ecuación (2) :

(0.

4)² + (0.

8)² - 2(0.

4) = 0

0.

16 + 0.

64 - 0.

8 = 0

0.

8 - 0.

8 = 0

0 = 0

Como el punto P2 es punto de las ecuaciones (1) y (2) entonces es punto de intersección de ambas.

Solo resta hacer la comprobación para el punto P1 = (2, 0).

Puedes descarga winplot (programa gratuito) para gráficar las ecuaciones (1) y (2) y ver gráficamente en donde se interceptan las dos funciones, solo tienes que apretar la tecla F2 (te va ha aparecer una ventana) e ir al menú Ecua y seleccionar Implícita y metes la primera ecuación como xx + yy - 4x - 4y + 4 = 0, para la ecuación (2) vuelves a al menú Ecua y seleccionas Implícita y metes la segunda ecuación como xx + yy - 2x = 0.