Doy 25 puntos a cada uno + los puntos por mejor respuesta?

∫ (x⁵ / (√(x³ + 1)) dx)

Resolviendo por sustitución :

Haciendo :

t = √(x³ + 1)

t² = x³ + 1

t² - 1 = x³

Ahora para hallar dx :

t² = x³ + 1

2t dt / dx = 3x²

dx = 2tdt / 3x²

Sustituyendo :

Sabiendo que(x⁵ = x³ * x²)

∫ (x² (t² - 1) / t)2tdt / 3x² = ∫ ((t² - 1) / t)2tdt / 3 = ∫ 2 / 3(t² - 1) dt

Sacando los 2 / 3 de la integral por propiedad : = 2 / 3∫(t² - 1) dt

Llegamos entonces a una integral básica :

∫(t² - 1) dt = t³ / 3 - t + c = 2 / 3 (t³ / 3 - t + c) = 2 / 3 (((t³ - 3t) + 3c ) / 3) = 2 / 9 t³ - 3t + 3c

3c = k = 2 / 9 (t³ - 3t + k) = 2 / 9(t³ - 3t) + 2 / 9k

2 / 9 k = K

Reemplazando nuevamente t por x : = 2 / 9 (√(x³ + 1))³ - 3(√(x³ + 1)) + K = 2 / 9 ((x³ + 1) * √(x³ + 1) - 3(√(x³ + 1)) + K = 2 / 9 (√(x³ + 1)((x³ + 1) - 3)) + K = 2 / 9√(x³ + 1)(x³ - 2) + K

Donde, k, K y c son constantes.