Disibilidad de polinomios?

Polinomio

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Gráfica de un polinomio de grado 7.

En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.

En términos más precisos, es una relación n - aria de monomios, o un sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo : tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia.

En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable ;

las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen

aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática

elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

Índice

1 Definición algebraica

1.

1 Polinomios de una variable1.

2 Polinomios de varias variables1.

3 Grado de un polinomio2 Operaciones con polinomios3 Funciones polinómicas

3.

1 Ejemplos de funciones polinómicas4 Factorización de polinomios5 Historia6 Véase también7 Referencias8 Enlaces externos

Definición algebraica

Polinomios de una variable

Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entonces un polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio.

A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal.

Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una

variable, tienen en total más de una variable.

Por ejemplo los monomios :

En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Grado de un polinomio

Artículo principal : Grado (polinomio).

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable.

El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

EjemplosP(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.

P(x) = 2x2 + 3x + 2, polinomio de grado dos.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como .

En particular los números son polinomios de grado cero.

Operaciones con polinomios

Artículo principal : Operaciones con polinomios.

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios

semejantes.

Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de

un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se

simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo

Sean los polinomios : y , entonces el producto es :

Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir

los datos necesarios de mayor a menor.

Una fórmula analítica que expresa

el producto de dos polinomios es la siguiente :

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene :

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto :

( * )

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo

es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación ) por lo que la expresión ( * ) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.