Diego tiene un Tangram de forma cuadrada cuyos lados miden 12 centímetros y lo compra por 8 soles él quiere saber cuál es el área del tangram y de cada una de las siete piezas se lo componen pero no t?

- En la figura anexa se muestra el Tangram cuadrado con sus 7 piezas.

Las piezas se han denominad con las letras a, b, c, d, e, f y g como se muestra : - El área del Tangram (AT), por tener forma cuadrada es igual a uno de sus lados al cuadrado :

AT = L² = 12² = 144 cm² - Las piezas a y b forman dos ángulos isósceles iguales , es decir sus lados son iguales, que llamaremos L1 y L2 para el triángulo a y L4 y L5 para el triángulo b.

Siendo sus bases también iguales, que denotamos con L3 y L6.

L1 = L2 = L4 = L5 y L3 = L6 - L3 = L6, son iguales al lado del cuadrado L = 12 cms - Para hallar los lados de los triángulos a y b, se determina la diagonal del cuadrado (Tangram)(D).

D = √2 x L

⇒ D = √2 x 12 = 16, 97 cm - En la figura anexa se puede observar que la diagonal es igual a la suma de los lados de los triángulos a y b, L1 y L5.

Es decir : D = L1 + L5 - Siendo L1 = L5 ⇒ D = 2L1 ⇒ L1 = D / 2 = 16, 97 cm / 2 ⇒ L1 = 8, 49 cm - El área de un triángulo isósceles es igual a su base por la altura sobre 2

At = b x h / 2

Siendo la altura igual a :

h = √(L2 – b2 / 4)

Entonces, el área del triángulo queda :

At = (b x √(L2 – b2 / 4)) / 2 - Para el triángulo isósceles a, el Área (Ata), es igual a :

Ata = (12 x √(8, 492 – 122 / 4)) / 2 = 12 x √(72 – 144 / 4) / 2 =

12 x √36 / 2 ⇒ Ata = 36 cm² - Ya que el triángulo a tiene las mismas medidas del triángulo b, ambas piezas tienen la misma área : Atb = Ata = 36 cm² - Las piezas f y d del Tangram, también son triángulos isósceles, donde los lados del triángulo f son iguales a los lados del triángulo d :

L7 = L8 = L10 = L11 - Y sus bases también son iguales : L9 = L12 - El lado del triángulo f, L7, es igual a la mitad del lado del triángulo a L1 :

L7 = L1 / 2 ⇒ L7 = 8, 49 cm / 2 ⇒ L7 = 4, 245 cm - Así L7 = L8 = L10 = L11 = 4, 245 cm - Las bases de los triángulos f y d, L9 y L12, son iguales a la mitad del lado del Tangram, es decir :

L9 = L12 = L / 2 = 12 / 2 = 6 cm - Entonces, las áreas de los triángulos Atf y Atd , son :

Atf = Atd = (6 x √(4, 2452 – 62 / 4)) / 2 = 6 x √18 - 36 / 4) / 2 = 6 x √(18 – 9) / 2 = 6x√9 / 2 ⇒ Atf = Atd = 9 cm² - La pieza e del Tagram, es un cuadrado, cuyo lado es igual a L8 = 4, 25 cm - El área del cuadrado e (Ae) es igual a su lado elevado al cuadrado :

Ae = L82 → Ae = 4, 2452 → Ae = 18 cm² - La pieza g del Tangram, es un triángulo isósceles cuyos lados, L13 y L14 son iguales y miden la mitad de la longitud del Tangram, L :

L13 = L14 = L / 2 = 12 / 2 = 6 cm - La base L15 es el doble del lado del cuadrado e, L8 : L15 = 2 L8 = 2 x 4, 245 → L15 = 8, 49 cm - El área del triángulo g, es :

Atg = (8, 49 x √(62 – 8, 492 / 4)) / 2 = 8, 49 x √(36 – 72 / 4) / 2 =

8, 49 x √(36 – 18) / 2 = (8, 49 x √18) / 2 = (8, 49 x 4, 24) / 2 ⇒ Atg = 18 cm² - La pieza c es un paralelogramo.

Dividiendo el paralelogramo con el segmento AB, como se muestra en la figura, se forman dos triángulos isósceles c y c´.

Cuyos lados son iguales L16 = L17 = L18 y también sus bases L12 = L19 - El lado L16 es igual a la mitad de la base L15 del triángulo g :

L16 = L17 = L18 = L15 / 2 = 8, 49 cm / 2 = 4, 245 cm - Las bases de los triángulos L12 = L19 = 6 cm - El área de los triángulos Atc = Atc´, son :

Atc = Atc = (6 x √(4, 2452 – 62 / 4)) / 2 = 6 x √(18 – 36 / 4) / 2 = 6 x √(18 – 9) / 2 = (6 x √9) / 2 ⇒ Atc = Atc´ = 9 cm² - El área del paralelograma c, es la suma de los triángulos c y c´, es decir :

Ac = Atc + Atc´ = 9 cm2 + 9 cm2 ⇒ Ac = 18 cm².