Determinar todos los sbconjuntos de los siguientes conjuntos :a?

A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12}

B = {1 ; 3 ; 5 ; 15}

U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16}A = {x|xes divisor natural de 12}

B = {x|xes divisor natural de 15}

U = {x|xes natural menor o igual que 16}Inclusión[editar]Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es unsubconjuntodel segundo o queestá incluidoen el segundo.

1En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposición posibles deben ser representadas.

Y, cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacías), la situación se indica anulándolas (con un color de fondo distinto).

2A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12}

B = {1 ; 2 ; 3 ; 6}

U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}A = {x|xes divisor natural de 12}

B = {x|xes divisor natural de 6}

U = {x|xes natural menor o igual que 12}Disyunción[editar]Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía.

A = {2 ; 4 ; 6 ; 8}

B = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}

U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}A = {x|xes par y de una cifra}

B = {x|xes impar y de una cifra}

U = {x|xes natural menor o igual que 10}A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntospor enumeraciónypor comprensión.

Orígenes e historia[editar]Vitral del comedor del Caius College (Cambridge) en homenaje a John Venn y su creaciónLos diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico.

3Estudiante y más tarde profesor del Caius College de laUniversidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito.

4Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo tituladoDe la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos, 5que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal.

Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes.

La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, en particular, desilogismos— se atribuye comúnmente aGottfried Leibniz.

Variantes de la misma fueron empleadas luego porGeorge BooleyAugustus De Morgan, pero fue el gran matemático suizoLeonhard Eulerquien primero introdujo una notación clara y sencilla.

2El siguiente diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.

Diagrama de EulerLos diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos : en ellos no aparecen las regiones vacías yel conjunto universal no se representa.

Si bien fue Venn quien introdujo la expresión "universo del discurso", él nunca representó al universal en sus trabajos.

3Por eso la idea de conjunto universal se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más conocido comoLewis Carroll, el lógico y autor de cuentos para niños quepopularizó el concepto de conjunto complementario.

1El conjunto universal fue cuestionado porBertrand Russell, quien mostró que con tal concepto la teoría de conjuntos resultaba inconsistente (véaseparadoja de Russell).

Sin embargo, dicha definición fue rescatada y aun justificada en unareciente extensión de los diagramas de Vennque distingue al universal delTodo(universo del discurso).

6Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso.

2Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libroLógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y revisar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal.

Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas.

7Otro libro de Venn que ayudó a divulgar el nuevo sistema de representación fue el tituladoLos principios de la lógica empírica o inductiva, publicado en 1889.

8La primera constancia escrita del uso de la expresión "diagrama de Venn" es muy tardía (1918) y se encuentra en el libroA Survey of Symbolic LogicdeClarence Irving Lewis.

9Diagramas de Venn de enunciados[editar]Como se mostró en la introducción, los diagramas de Venn pueden ser definidos por comunicaciones de sus elementos o por indicación de una característica común que los identifica unívocamente.

1De ahí que haya dos tipos de diagramas de Venn : los que muestran elementos reunidos por líneas cerradas y los que simplemente muestran enunciados o conceptos.

Estos últimos son más interesantes porque permiten operar de manera abstracta y llegar a conclusiones más generales.

10Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de cuatro operaciones básicas con conjuntos usando el código del semáforo de dos colores.

11¬AA∧BA∨B = ¬((¬A) ∧ (¬B))A–B = A∧ (¬B).