Determinar si T : R4 ⇢ R2 , definida por T( x1 , x2 , x3, x4) = ( x1 + x3 , x2 + x4) es una transformación lineal?
Determinar si T : R4 ⇢ R2 , definida por T( x1 , x2 , x3, x4) = ( x1 + x3 , x2 + x4) es una transformación lineal.
En resumen
Una transformación se considera lineal si cumple con dos propiedades : T(u + v) = T(u) + T(v) T(ku) = kT(u) Siendo u y v dos vectores pertenecientes a cierto espacio vectorial y k una constante escalar.
Mejor respuesta
Una transformación se considera lineal si cumple con dos propiedades :
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(ku) = kT(u)
Siendo u y v dos vectores pertenecientes a cierto espacio vectorial y k una constante escalar.
La transformación en consideración es :
T : R⁴ - - - >R² / T(x₁, x₂, x₃, x₄) = (x₁ + x₃, x₂ + x₄)
Sean los vectores u y v pertenecientes a R⁴
u = (z₁, z₂, z₃, z₄)
v = (y₁, y₂, y₃, y₄)
u + v = (z₁, z₂, z₃, z₄) + (y₁, y₂, y₃, y₄) = (z₁ + y₁, z₂ + y₂, z₃ + y₃, z₄ + y₄)
T(u + v) = T(z₁ + y₁, z₂ + y₂, z₃ + y₃, z₄ + y₄) =
(z₁ + y₁ + z₃ + y₃, z₂ + y₂ + z₄ + y₄)
T(u) = T(z₁, z₂, z₃, z₄) = (z₁ + z₃, z₂ + z₄)
T(v) = T(y₁, y₂, y₃, y₄) = (y₁ + y₃, y₂ + y₄)
T(u) + T(v) = (z₁ + z₃, z₂ + z₄) + (y₁ + y₃, y₂ + y₄) = (z₁ + y₁ + z₃ + y₃, z₂ + y₂ + z₄ + y₄)
Se cumple la primer propiedad.
Ahora estudiamos la segunda con el vector u como ejemplo.
K. u = k(z₁, z₂, z₃, z₄) = (k.
Z₁, k.
Z₂, k.
Z₃, k.
Z₄)
T(k.
U) = T(k.
Z₁, k.
Z₂, k.
Z₃, k.
Z₄) = (kz₁ + kz₃, kz₂ + kz₄) = (k(z₁ + z₃), k(z₂ + z₄)) = k(z₁ + z₃, z₂ + z₄) = kT(u)
Dado que se cumplen las dos propiedades, se trata de una transformación lineal.
Cualquier duda a las órdenes.
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