Determinar el valor de M , para que los puntos : A(2, 5), B( - 4, - 2) y C(0 ; M) sean los vertices de un triangulo rectangulo.
Se tienen las medidas de los lados del triángulo : a, b y cluego :
a ^ 2 = d(B, C) ^ 2 = ( - 4 - 0) ^ 2 + ( - 2 - M) ^ 2 = 16 + (M + 2) ^ 2
b ^ 2 = d(A, C) ^ 2 = (2 - 0) ^ 2 + (5 - M) ^ 2 = 4 + (M - 5) ^ 2
c ^ 2 = d(A, B) ^ 2 = (2 - ( - 4)) ^ 2 + (5 - ( - 2)) ^ 2 = 6 ^ 2 + 7 ^ 2 = 85
1) Suponiendo que el lado (AB ) es Hipotenusa : Por el teorema de
Pitágoras (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
)
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
85 = 16 + (M + 2) ^ 2 + 4 + (M - 5) ^ 2
65 = M ^ 2 + 4M + 4 + M ^ 2 - 10M + 25
0 = 2M ^ 2 - 6M - 36
0 = M ^ 2 - 3M - 18
(M - 6)(M + 3) = 0
(M = 6)∨(M = - 3)
2) Suponiendo que el lado (AB ) es Cateto : Por el teorema de
Pitágoras (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2
)
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2
16 + (M + 2) ^ 2 = 4 + (M - 5) ^ 2 + 85
16 + M ^ 2 + 4M + 4 = 4 + M ^ 2 - 10M + 25 + 85
16 + 4M = - 10M + 25 + 85
14M = 94
(M = 94 / 14 = 47 / 7)Para mejor explicación vea la imagen.
Los valores que puede tener M es {6, - 2, 47 / 7}.
Efectivamente. En un triángulo rectángulo el ortocentro coincide con el vértice opuesto a la hipotenusa. El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Las alturas son rectas paralelas a…
Graficamente esta en el archivo adjunto.
TODO triángulo rectángulo cumple el siguiente teorema. Teorema : Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo con a, b.