Determinar el termino general de la sucesión la monotonía y si es convergente o divergente ; 1 / 2, 1 / 2, 3 / 8, 1 / 4, 5 / 32.
En resumen
S = 1 / 2 , 1 / 2 , 3 / 8 , 1 / 4 , 5 / 32 Vemos que los denominadores son potencias de 2. Para dar forma final al término general pondremos "n" en el denominador quedando de la siguiente forma : <img src="https://tex.z-dn.net/?
S = 1 / 2 , 1 / 2 , 3 / 8 , 1 / 4 , 5 / 32
Vemos que los denominadores son potencias de 2.
Para dar forma final al término general pondremos "n" en el denominador quedando de la siguiente forma :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20S_%7Bn%7D%3D%20%20%20%5Cfrac%7Bn%7D%7B%202%5E%7Bn%7D%20%7D%20%20" />
Donde :
n = Número de término.
Para ver la monotonía evaluamos lo siguiente :
Si<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20S_%7Bn%2B1%7D-%20S_%7Bn%7D%20%20%5Cgeq%200" />, entonces es monótona creciente.
Si<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20S_%7Bn%2B1%7D-%20S_%7Bn%7D%5Cleq0" />, entonces es monótona decreciente.
Tomando el tercer y cuarto término :
1 / 4 - 3 / 8 = - 1 / 8
Por lo tanto, es monótona decreciente.
Para ver la convergencia, calcularemos el límite al infinito de la sucesión.
Si existe el límite diremos que es convergente.
Entonces :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7Bn%7D%7B%202%5E%7Bn%7D%20%7D" />
Como vemos, si desarrollamos así llegaremos a una indeterminación, por lo tanto aplicaremos L'Hospital :
Derivando el numerador y el denominador tendremos : <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%282%29%2A%202%5E%7Bn%7D%20%7D%20" />
Ahora aplicaremos el límite :
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%282%29%2A%202%5E%7Bn%7D%20%7D%20%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bln%282%29%2A%202%5E%7BInfinito%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BInfinito%7D%3D0%20%0A%20" />
Como existe el límite, que es 0, diremos que es convergente.
Otra forma de evaluar la convergencia, es evaluar cada término y ver la tendencia :
n = 1 S1 = 1 / 2 = 0.
5
n = 2 S2 = 1 / 2 = 0.
5
n = 3 S3 = 3 / 8 = 0.
375
n = 4 S4 = 1 / 4 = 0.
25
n = 5 S5 = 5 / 32 = 0.
15625
.
N = 7 S7 = 7 / 128 = 0.
0546875
.
N = 9 S9 = 9 / 512 = 0.
017578125
n = 10 S10 = 10 / 1024 = 0.
009765625
Como vemos, con forme aumentan los términos de la sucesión, estos tienden a 0.
Es decir, es convergente.
Espero que esté clara la explicación.
Saludos.
Dependiendo que tipo de sucesión sea, si es aritmética y geométrica basta con 2 términos no importa el orden. Si son osciladas o alternantes la cantidad de términos varía según la cantidad de datos alterados en cada…
Una sucesión es divergente cuando los valores de los términos no tienen límite y van hacia el infinito. Una sucesión es Convergente caundo vamos aumentando los términos y sus valores van acercando a un número en…
Respuesta : Se llama término general de una sucesión al que ocupa un lugar cualquiera, n, de la misma, se escribe an. Hay sucesiones cuyo término general es una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier…