Determinar el dominio y el rango de 2x / x ^ 2 + 1?

El dominio como dice el chico de arriba son todos los reales x∈( - ∞, ∞), pero el rango no son todos los reales.

Para saber cual es el rango analíticamente debes primero ver si tiene simetría respecto al eje x (impar) o y (par), eso te da bastante información.

Luego podrías aplicar límite para ver hacia donde va la función (f(x) ) cuando x = ∞.

Para este caso particular f(x) es impar porque cumple que f(x) = - f(x) (compruébalo ), esto indica que la función podría ir desde - ∞ al∞.

Para estar seguros aplicamos límite cuando x tiende a∞ (x⇒∞) :

lim x⇒∞ 2x / (x² + 1) = 2(x / x²) / ( (x² / x²) + (1 / x²)) = 2(0) / (1 + 0) = 0 / 1 = 0

Esto significa que la función tiene un pico y luego desciende tendiendo a cero para ambos lados respecto al eje x (porque es impar) .

Esto significa que el rango de la función esta entre el "pico negativo " y el "pico positivo".

¿Cómo hallas dichos picos?

, derivando f(x) e igualando a cero

dy / dx = (2x)(2x) - (x² + 1)(2) / (x² + 1)² = 4x² - 2x² - 2 / (x² + 1)² = 2(x² - 1) / (x² + 1)²

dy / dx = 0

2(x² - 1) / (x² + 1)² = 0

2(x² - 1) = 0

x² - 1 = 0

x² = 1

√x² = √1

lxl = 1

x = + - 1

Los picos se presentan cuando x = 1 donde f(1) = 1 y x = - 1 donde f( - 1) = - 1

Así, el rango va desde f(x) ∈ [ - 1, 1]

Te dejo la gráfica para que compruebes.