Desconpon el numero 349 en cinco maneras distintas?

Las formas de determinante −1 y −2 est´an sujetas a ciertas excepciones,

as´ı que diremos un poco sobre ellas como caso particular.

Empezamos con la

observaci´on general de que si ϕ y ϕ0 son dos formas binarias equivalentes cualesquiera,

(Θ) una transformaci´on dada de la primera en la segunda, entonces combinando

cualquiera de las representaciones de ϕ por la forma ternaria f con la sustituci´on

(Θ), se obtiene una representaci´on de la forma ϕ0 por f.

Adem´as a partir de las

representaciones propias de ϕ obtenemos las representaciones propias de la forma

ϕ0

, a partir de representaciones distintas de ϕ obtenemos representaciones distintas

de ϕ0 y si tomamos todas las representaciones de la primera obtendremos todas las

representaciones de la segunda.

Todo esto se puede comprobar mediante c´alculos

muy sencillos.

Por lo tanto una de las formas ϕ y ϕ0 es representable por f de tantas

maneras distintas como lo es la otra.

I. Primero sea ϕ = t

2 + u2 y ϕ0 una forma binaria positiva cualquiera de

determinante −1, a la cual ϕ es equivalente.

Sea t = αt0 + βu0

, u = γt0 + δu0 la

sustituci´on que transforma ϕ en ϕ0

.

La forma ϕ se representa por la forma ternaria

f = x2 + y2 + z2, poniendo x = t, y = u, z = 0 ; permutando x, y, z resultan

seis representaciones, y a partir de cada una de ´estas, cuatro m´as cambiando los

signos de t y u.

As´ı pues habr´a en total 24 representaciones que corresponden a

s´olo una descomposici´on en tres cuadrados.

Es f´acil ver que no habr´a ninguna otra

representaci´on salvo ´estas.

Y se concluye que la forma ϕ0 se puede descomponer en

tres cuadrados de s´olo una manera, a saber, (αt0 + βu0

)2, (γt0 + δu0

)2 y 0.

Esta

descomposici´on ser´a equivalente a las 24 representaciones.

II. Sea ϕ = t

2 + 2u2, ϕ0 cualquier otra forma binaria positiva de determinante

−2, en la cual se transforma ϕ mediante la sustituci´on t = αt0 + βu0

, u = γt0 + δu0

.

Entonces de manera similar que en el caso anterior concluimos que ϕ y tambi´en ϕ0 se

pueden descomponer en tres cuadrados de manera ´unica, a saber, ϕ en t

2 + u2 + u2

y ϕ0 en (αt0 + βu0

)2 + (γt0 + δu0

)2 + (γt0 + δu0

)2 ; es obvio que esta descomposici´on es

equivalente a las 24 representaciones.

De todo esto se sigue que las formas binarias de determinante −1 y −2

en cuanto al n´umero de representaciones por la forma ternaria x2 + y2 + z2 son

completamente iguales a las otras formas binarias ; puesto que en ambos casos tenemos

μ = 0, la f´ormula dada en IV del art´ıculo anterior dar´a las 24 representaciones.

La

raz´on para esto es que las dos excepciones a las cuales est´an sujetas estas formas se

compensan mutuamente.