Descomponer el vector w = −i - 3j + 2k como la suma de 2 vectores w1 y w2, w1 paralelo al vector j + 3k y w2 ortogonal a este último?

Veamos.

Utilizo la notación vectorial como ternas ordenadas :

w1 = k (0, 1, 3) ; siendo k una constante a determinar.

Sea w2 = (x, y, z) perpendicular a (0, 1, 3)

Luego :

( - 1, - 3, 2) = k (0, 1, 3) + (x, y, z)

Es inmediato que x = - 1

Por ser perpendiculares, el producto escalar es nulo :

(0, 1, 3) * (x , y , z) = 0 = y + 3 z = 0

Identificando coordenadas.

X = - 1

k + y = - 3 (1)

3 k + z = 2 (2)

y + 3 z = 0(3)

Tenemos con (1), (2), (3) un sistema lineal 3 x 3 ; sus valores son :

k = 3 / 10, y = - 33 / 10, z = 11 / 10

Verificamos :

( - 1, - 3, 2) = 3 / 10 (0, 1, 3) + ( - 1, - 33 / 10, 11 / 10)

( - 1, - 3, 2) = [ - 1, (3 - 33) / 10, (9 + 11) / 10] = ( - 1, - 3, 2)

Saludos Herminio.