Deriva y = (x + senx) ^ √x?

Hola,

Cuando hay involucrada funciones como exponente, lo más inteligente es usar la función logaritmo y bueno tampoco sé si hay otros métodos, bueno aplicando logaritmo a la ecuación tenemos que :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=ln%20y%20%3D%20%20%5Csqrt%7Bx%7D%20ln%28x%2Bsenx%29" />

Ahora derivamos la ecuación respecto a x :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7By%27%7D%7By%7D%20%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%20%28%5Csqrt%7Bx%7D%20ln%28x%2Bsenx%29%29%20%5C%5C%20%5C%5C%0A" />

Usamos la regla del producto de una derivada para derivar la parte derecha de la igualdad , en la parte de la izquierda utilicé la regla de la cadena.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7By%27%7D%7By%7D%20%20%3D%20%20%20%5Cfrac%7Bln%28x%2Bsenx%29%7D%7B2%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%20%5Cfrac%7B1%2Bcosx%7D%7Bx%2Bsenx%7D%20%20%5C%5C%20%5C%5C" />

Ahora pasamos "y" multiplicando :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%20y%27%20%3D%20%20%20y%28%5Cfrac%7Bln%28x%2Bsenx%29%7D%7B2%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%20%5Cfrac%7B1%2Bcosx%7D%7Bx%2Bsenx%7D%29%20%20%5C%5C%20%5C%5C" />

Que linda esta derivada * - * .

Sabíamos de un comienzo que ,

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=y%20%3D%20%28x%2Bsenx%29%5E%7B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D" />

Entonces, sustituimos en y', resultando :

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%20y%27%20%3D%20%20%20%28x%2Bsenx%29%5E%7B%20%5Csqrt%7Bx%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cleft%28%5Cfrac%7Bln%28x%2Bsenx%29%7D%7B2%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%20%5Cfrac%7B1%2Bcosx%7D%7Bx%2Bsenx%7D%20%5Cright%29%7D" />

Cualquier consulta me avisas,

Salu2 : ).