Demostrar que :[tex] {0} ^ {0} = 1[ / tex]?

Más que una demostración de la veracidad o falsedad de tal proposición, haré un comentario.

Primero veamos esto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=a%5En%20%5Cleq%20a%5Em~%2C~%20a%5Cgeq0~%2C~n%5Cleq%20m" /> entonces con esa lógica estaría bien decir que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%5E0%20%5Cleq%200%5E1" /> y por lo tanto una contradicción.

Por otra parte tal aseveración podría ser útil para construir una función continua, por ejemplo <img src="https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%201%2C%26%20x%3D0%5C%5C%20x%5Ex%2C%26%20x%5C%20%5Ctextgreater%20%5C%200%20%5Cend%7Bcases%7D" />

es continua en x = 0, puesto que <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%2B0%7Dx%5Ex%3D1" />

Ahora de nuevo podemos decir que lo mencionado inicialmente es falso si hacemos esto <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7De%5E%7B-1%2F%7Cx%7C%7D%3D0%3D%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%20%7Cx%7C" />

Para tener.

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%200%7D%5Cleft%28e%5E%7B-1%2F%7Cx%7C%7D%5Cright%29%5E%7B%7Cx%7C%7D%3De%5E%7B-1%7D" />

En conclusión la expresión <img src="https://tex.z-dn.net/?f=0%5E0%3D1" /> nos llevaría a muchas ambigüedades, por eso, creo yo, que sería mejor decir que no tiene definición al igual que 0 / 0 que puede darnos cualquier número.